Номер 2.88, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.88. Решите уравнение:

a) $5^{x+1} - 5^x = 100;$

б) $2^{x+5} - 3 = 2^{x+3};$

в) $3^x + 2 \cdot 3^{x-3} = 29.$

а) $5^{x+1} - 5^x = 100$

Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем первое слагаемое:

$5^x \cdot 5^1 - 5^x = 100$

Теперь вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(5 - 1) = 100$

Выполним вычитание в скобках:

$5^x \cdot 4 = 100$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти значение $5^x$:

$5^x = \frac{100}{4}$

$5^x = 25$

Представим число 25 как степень с основанием 5:

$5^x = 5^2$

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$.

б) $2^{x+5} - 3 = 2^{x+3}$

Сначала сгруппируем члены, содержащие переменную $x$, в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$2^{x+5} - 2^{x+3} = 3$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем оба слагаемых в левой части:

$2^x \cdot 2^5 - 2^x \cdot 2^3 = 3$

$32 \cdot 2^x - 8 \cdot 2^x = 3$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(32 - 8) = 3$

Выполним вычитание в скобках:

$2^x \cdot 24 = 3$

Разделим обе части уравнения на 24:

$2^x = \frac{3}{24}$

Сократим дробь:

$2^x = \frac{1}{8}$

Представим $\frac{1}{8}$ как степень с основанием 2, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^x = 2^{-3}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = -3$

Ответ: $-3$.

в) $3^x + 2 \cdot 3^{x-3} = 29$

Воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ для преобразования второго слагаемого:

$3^x + 2 \cdot \frac{3^x}{3^3} = 29$

Вычислим знаменатель:

$3^x + 2 \cdot \frac{3^x}{27} = 29$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(1 + \frac{2}{27}) = 29$

Выполним сложение в скобках:

$3^x(\frac{27}{27} + \frac{2}{27}) = 29$

$3^x \cdot \frac{29}{27} = 29$

Чтобы найти $3^x$, разделим обе части уравнения на $\frac{29}{27}$:

$3^x = 29 \div \frac{29}{27}$

$3^x = 29 \cdot \frac{27}{29}$

$3^x = 27$

Представим число 27 как степень с основанием 3:

$3^x = 3^3$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 3$

Ответ: $3$.