Номер 2.93, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.93. Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{1}{3^{4x} - 7 \cdot 3^{2x} - 18}$;

б) $y = \frac{1}{3 \cdot 5^{2x-1} - 2 \cdot 5^{x-1} - 0,2}$.

а) $y = \frac{1}{3^{4x} - 7 \cdot 3^{2x} - 18}$

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю.

$3^{4x} - 7 \cdot 3^{2x} - 18 \neq 0$

Заметим, что $3^{4x} = (3^{2x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{2x}$. Поскольку показательная функция $a^z$ всегда положительна при $a>0$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 7t - 18 \neq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 7t - 18 = 0$.

По теореме Виета или через дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

$t_1 = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$t_2 = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $t_2 = 9$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$3^{2x} = 9$

$3^{2x} = 3^2$

$2x = 2$

$x = 1$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $x=1$. Это значение необходимо исключить из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{3 \cdot 5^{2x-1} - 2 \cdot 5^{x-1} - 0.2}$

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю.

$3 \cdot 5^{2x-1} - 2 \cdot 5^{x-1} - 0.2 \neq 0$

Преобразуем выражение в знаменателе, используя свойства степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$ и представим $0.2$ в виде дроби $1/5$.

$3 \cdot \frac{5^{2x}}{5} - 2 \cdot \frac{5^x}{5} - \frac{1}{5} \neq 0$

Умножим обе части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателей:

$3 \cdot 5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 1 \neq 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$3t^2 - 2t - 1 \neq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 - 2t - 1 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

$t_1 = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Корень $t_1 = -1/3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $t_2 = 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$5^x = 1$

$5^x = 5^0$

$x = 0$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $x=0$. Это значение необходимо исключить из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.