Номер 2.97, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.97. Найдите нули функции $y = 4^{x+1} - 10 \cdot 6^x + \frac{1}{4} \cdot 9^{x+1}$.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули данной функции, необходимо решить уравнение $y=0$:

$4^{x+1} - 10 \cdot 6^x + \frac{1}{4} \cdot 9^{x+1} = 0$

Для решения этого показательного уравнения преобразуем его члены, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, $(a^b)^c = a^{bc}$ и $(ab)^c = a^c b^c$.

$4^{x+1} = 4^1 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot (2^x)^2$

$6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$

$9^{x+1} = 9^1 \cdot 9^x = 9 \cdot (3^2)^x = 9 \cdot (3^x)^2$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$4 \cdot (2^x)^2 - 10 \cdot 2^x \cdot 3^x + \frac{1}{4} \cdot 9 \cdot (3^x)^2 = 0$

$4 \cdot (2^x)^2 - 10 \cdot 2^x \cdot 3^x + \frac{9}{4} \cdot (3^x)^2 = 0$

Полученное уравнение является однородным относительно $2^x$ и $3^x$. Разделим обе части уравнения на $(3^x)^2$. Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, это преобразование является равносильным.

$4 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} - 10 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} + \frac{9}{4} \cdot \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$

$4 \cdot \left(\frac{2^x}{3^x}\right)^2 - 10 \cdot \frac{2^x}{3^x} + \frac{9}{4} = 0$

$4 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^2 - 10 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + \frac{9}{4} = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, $t > 0$. Уравнение примет вид квадратного:

$4t^2 - 10t + \frac{9}{4} = 0$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

$16t^2 - 40t + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 1600 - 576 = 1024 = 32^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 + 32}{2 \cdot 16} = \frac{72}{32} = \frac{9}{4}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 - 32}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

Оба корня положительны, следовательно, удовлетворяют условию $t>0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

1. Для $t_1 = \frac{9}{4}$:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{9}{4}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^2$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$

$x_1 = -2$

2. Для $t_2 = \frac{1}{4}$:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{1}{4}$

По определению логарифма:

$x_2 = \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{4}\right)$

Таким образом, функция имеет два нуля.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{4}\right)$.