Номер 2.98, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.98. Решите уравнение, используя свойства функций:

а) $5^x = 6 - x;$

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3.$

а) $5^x = 6 - x$

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами функций. Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1 = 5^x$ и $y_2 = 6 - x$.

1. Функция $y_1 = 5^x$ — это показательная функция с основанием $a=5$, где $a > 1$. Такая функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на множестве всех действительных чисел $R$.

2. Функция $y_2 = 6 - x$ — это линейная функция, ее график — прямая. Коэффициент при $x$ равен $-1$, что меньше нуля, следовательно, эта функция является строго убывающей на всей своей области определения $R$.

Если на некотором промежутке одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, то уравнение, в котором эти функции приравниваются, может иметь не более одного корня. В нашем случае это означает, что уравнение $5^x = 6 - x$ имеет не более одного решения.

Найдем этот корень методом подбора. Попробуем подставить целые значения $x$.
При $x = 1$:
Левая часть: $5^1 = 5$
Правая часть: $6 - 1 = 5$
Поскольку $5=5$, то $x=1$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что уравнение не может иметь более одного корня, то $x=1$ является единственным решением.
Ответ: 1

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3$

Рассмотрим две функции: $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = x + 3$.

1. Функция $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ — это показательная функция с основанием $a=\frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$. Такая функция является строго убывающей на всей своей области определения $R$.

2. Функция $y_2 = x + 3$ — это линейная функция с коэффициентом при $x$ равным $1$, что больше нуля. Следовательно, эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения $R$.

Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это значит, что уравнение $(\frac{1}{2})^x = x + 3$ имеет не более одного решения.

Найдем корень уравнения методом подбора.
При $x = -1$:
Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$
Правая часть: $-1 + 3 = 2$
Поскольку $2=2$, то $x=-1$ является корнем уравнения.

В силу единственности решения, $x=-1$ — это единственный корень данного уравнения.
Ответ: -1