Номер 2.104, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.104*. Решите уравнение, используя свойства функций:

а) $0,25^x + 1 = -\frac{5}{x};$

б) $0,5^{-x} = \frac{2-3x}{2};$

в) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x+10}.$

а) $0,25^x + 1 = -\frac{5}{x}$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

$f(x) = 0,25^x + 1$

$g(x) = -\frac{5}{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется знаменателем в правой части: $x \neq 0$.

Исследуем свойства этих функций.

1. Функция $f(x) = 0,25^x + 1$. Так как основание степени $0,25$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=0,25^x$ является монотонно убывающей на всей числовой прямой. Добавление константы $1$ не меняет характера монотонности. Следовательно, функция $f(x)$ является строго убывающей.

Кроме того, поскольку $0,25^x > 0$ для любого $x$, то $f(x) = 0,25^x + 1 > 1$. Значения левой части уравнения всегда больше 1.

2. Функция $g(x) = -\frac{5}{x}$. Это обратная пропорциональность (гипербола). Ее производная $g'(x) = (-5x^{-1})' = -5(-1)x^{-2} = \frac{5}{x^2}$. Так как $g'(x) > 0$ для всех $x$ из ОДЗ, функция $g(x)$ является строго возрастающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$.

Теперь проанализируем возможные решения уравнения $f(x) = g(x)$.

• Если $x > 0$, то $g(x) = -\frac{5}{x} < 0$. При этом мы знаем, что $f(x) > 1$. Так как положительное число не может равняться отрицательному, на промежутке $(0; \infty)$ корней нет.
• Если $x < 0$, то $g(x) = -\frac{5}{x} > 0$. На этом промежутке корни могут существовать. На интервале $(-\infty; 0)$ функция $f(x)$ строго убывает, а функция $g(x)$ строго возрастает. Это означает, что их графики могут пересечься не более одного раза, следовательно, уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Попробуем целые отрицательные значения $x$.

Пусть $x = -1$.

Левая часть: $f(-1) = 0,25^{-1} + 1 = (\frac{1}{4})^{-1} + 1 = 4 + 1 = 5$.

Правая часть: $g(-1) = -\frac{5}{-1} = 5$.

Поскольку $f(-1) = g(-1)$, значение $x = -1$ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что корень на этом промежутке может быть только один, то это и есть единственное решение.

Ответ: $-1$

б) $0,5^{-x} = \frac{2-3x}{2}$

Преобразуем уравнение.
Левая часть: $0,5^{-x} = (\frac{1}{2})^{-x} = (2^{-1})^{-x} = 2^x$.
Правая часть: $\frac{2-3x}{2} = 1 - \frac{3}{2}x = 1 - 1,5x$.

Уравнение принимает вид: $2^x = 1 - 1,5x$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях:

$f(x) = 2^x$

$g(x) = 1 - 1,5x$

Область определения обеих функций — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

1. Функция $f(x) = 2^x$ — показательная функция с основанием $2 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей своей области определения.

2. Функция $g(x) = 1 - 1,5x$ — линейная функция с угловым коэффициентом $-1,5 < 0$, следовательно, она является строго убывающей на всей своей области определения.

Так как одна из функций строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень методом подбора. Проверим $x=0$.

Левая часть: $f(0) = 2^0 = 1$.

Правая часть: $g(0) = 1 - 1,5 \cdot 0 = 1$.

При $x=0$ левая и правая части равны, значит, $x=0$ является корнем уравнения. В силу единственности, это единственный корень.

Ответ: $0$

в) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x+10}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 10 \ge 0 \implies x \ge -10$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-10; \infty)$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях на этой области определения:

$f(x) = (\frac{1}{3})^x$

$g(x) = \sqrt{x+10}$

1. Функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ — показательная функция с основанием $\frac{1}{3} \in (0; 1)$, следовательно, она является строго убывающей на всей числовой прямой, и в частности на промежутке $[-10; \infty)$.

2. Функция $g(x) = \sqrt{x+10}$ — функция квадратного корня, которая является строго возрастающей на всей своей области определения $[-10; \infty)$.

Уравнение имеет вид $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ — строго убывающая функция, а $g(x)$ — строго возрастающая. Такое уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Удобно подбирать такие значения $x$, чтобы подкоренное выражение $x+10$ было полным квадратом.

Попробуем $x = -1$. Это значение входит в ОДЗ.

Левая часть: $f(-1) = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$.

Правая часть: $g(-1) = \sqrt{-1+10} = \sqrt{9} = 3$.

Поскольку левая и правая части равны, $x=-1$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, то это и есть решение.

Ответ: $-1$