Номер 2.111, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.111*. Найдите число корней уравнения:

а) $2^{|x|} = 5 - |x|$;

б) $|2^x - 4| = -\frac{2}{3}x + 2$.

Для решения данных уравнений воспользуемся графическим методом. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения.

а) $2^{|x|} = 5 - |x|$

Рассмотрим две функции: $y = 2^{|x|}$ и $y = 5 - |x|$. Обе функции являются четными, так как $f(-x) = f(x)$, поэтому их графики симметричны относительно оси ординат (оси Oy). Это означает, что мы можем построить графики для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить их относительно оси Oy, чтобы получить графики для $x < 0$.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Уравнение принимает вид $2^x = 5 - x$.

Рассмотрим функции $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 5 - x$ на промежутке $[0, +\infty)$.

• $y_1 = 2^x$ — возрастающая показательная функция. При $x=0$, $y_1=1$. При $x=1$, $y_1=2$. При $x=2$, $y_1=4$.
• $y_2 = 5 - x$ — убывающая линейная функция (прямая). При $x=0$, $y_2=5$. При $x=1$, $y_2=4$. При $x=2$, $y_2=3$.

Сравним значения функций:

• При $x=1$, $y_1(1) = 2$ и $y_2(1) = 4$, то есть $y_1 < y_2$.
• При $x=2$, $y_1(2) = 4$ и $y_2(2) = 3$, то есть $y_1 > y_2$.

Так как на отрезке $[1, 2]$ функция $y_1$ является непрерывной и возрастающей, а $y_2$ — непрерывной и убывающей, и на концах отрезка выполняется неравенство $y_1(1) < y_2(1)$ и $y_1(2) > y_2(2)$, то на интервале $(1, 2)$ графики этих функций пересекаются ровно один раз. Пусть точка пересечения имеет абсциссу $x_0$. Так как $1 < x_0 < 2$, то $x_0 > 0$.

Поскольку исходные функции $y = 2^{|x|}$ и $y = 5 - |x|$ четные, их графики симметричны относительно оси Oy. Если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также является корнем. Так как $x_0 \neq 0$, мы получаем два различных корня: $x_0$ и $-x_0$.

Других положительных корней нет, так как возрастающая и убывающая функции могут пересечься только один раз. Следовательно, других отрицательных корней также нет. Проверка $x=0$ показывает, что $2^{|0|} = 1$, а $5-|0|=5$, $1 \neq 5$, так что $x=0$ не является корнем.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.

б) $|2^x - 4| = -\frac{2}{3}x + 2$

Рассмотрим графики функций $y_1 = |2^x - 4|$ и $y_2 = -\frac{2}{3}x + 2$.

1. Построим график функции $y_1 = |2^x - 4|$.

• Сначала строим график показательной функции $y = 2^x$.
• Затем сдвигаем его на 4 единицы вниз, получаем график $y = 2^x - 4$. Эта функция пересекает ось Ox в точке, где $2^x - 4 = 0$, то есть $x=2$. Ось Oy она пересекает в точке $y = 2^0 - 4 = -3$. Горизонтальная асимптота: $y = -4$.
• Наконец, применяем операцию модуля: часть графика, лежащую ниже оси Ox (при $x < 2$), симметрично отражаем относительно оси Ox. Часть графика при $x \ge 2$ остается без изменений.
• В итоге, график $y_1 = |2^x - 4|$ имеет "излом" в точке $(2, 0)$, пересекает ось Oy в точке $(0, |2^0 - 4|) = (0, 3)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=4$ при $x \to -\infty$.

2. Построим график функции $y_2 = -\frac{2}{3}x + 2$.

• Это прямая линия. Найдем две точки для ее построения.
• Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y_2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = -\frac{2}{3}x + 2 \implies \frac{2}{3}x = 2 \implies x=3$. Точка $(3, 0)$.

3. Найдем число точек пересечения графиков.

• При $x=0$: $y_1(0) = 3$, а $y_2(0) = 2$. График $y_1$ находится выше графика $y_2$.
• При $x=2$: $y_1(2) = |2^2 - 4| = 0$, а $y_2(2) = -\frac{2}{3}(2) + 2 = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}$. График $y_2$ находится выше графика $y_1$. Поскольку на отрезке $[0, 2]$ обе функции непрерывны, и на концах отрезка меняется их относительное положение, то на интервале $(0, 2)$ есть как минимум одна точка пересечения. Анализ выпуклости показывает, что она одна. (Первый корень)
• При $x=3$: $y_1(3) = |2^3 - 4| = |8 - 4| = 4$, а $y_2(3) = 0$. График $y_1$ находится выше графика $y_2$. Поскольку на отрезке $[2, 3]$ функции непрерывны и их относительное положение меняется ($y_1(2) < y_2(2)$ и $y_1(3) > y_2(3)$), на интервале $(2, 3)$ есть еще одна точка пересечения. (Второй корень)
• Рассмотрим поведение функций при $x < 0$. Прямая $y_2 = -\frac{2}{3}x + 2$ неограниченно возрастает при $x \to -\infty$. График $y_1 = |2^x - 4| = 4 - 2^x$ (так как при $x<2$ $2^x-4<0$) также возрастает, но стремится к своей горизонтальной асимптоте $y=4$. Найдем точку, где прямая пересекает асимптоту $y=4$: $4 = -\frac{2}{3}x + 2 \implies 2 = -\frac{2}{3}x \implies x = -3$. В точке $x=-3$ имеем: $y_2(-3) = 4$ и $y_1(-3) = |2^{-3} - 4| = |\frac{1}{8} - 4| = 3\frac{7}{8}$. Таким образом, при $x=-3$ прямая находится выше графика $y_1$. При $x=0$ прямая была ниже ($y_2(0)=2, y_1(0)=3$). Следовательно, на интервале $(-3, 0)$ существует еще одна точка пересечения. (Третий корень)
• При $x < -3$, значения функции $y_2$ будут больше 4, в то время как значения функции $y_1$ всегда меньше 4. Таким образом, других точек пересечения нет.

Всего мы обнаружили три точки пересечения графиков.

Ответ: 3.