Номер 2.116, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.116. Решите уравнение:

a) $3^{x^2+x} - 9 = 0;$

б) $5^{x^2-8} - 5 = 0;$

в) $10^{x^2+2x} - 1 = 0;$

г) $2^{7-x^2} - 0,25 = 0;$

д) $7^{x^2-1} - 49 = 0;$

е) $0,25^{3-x^2} = 16.$

а) Исходное уравнение: $3^{x^2+x} - 9 = 0$.
Перенесем 9 в правую часть уравнения: $3^{x^2+x} = 9$.
Представим число 9 как степень с основанием 3: $9 = 3^2$.
Теперь уравнение имеет вид: $3^{x^2+x} = 3^2$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $x^2+x = 2$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2+x-2=0$.
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Корни уравнения равны: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-1-3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Ответ: $1; -2$.

б) Исходное уравнение: $5^{x^2-8} - 5 = 0$.
Перенесем 5 в правую часть уравнения: $5^{x^2-8} = 5$.
Представим число 5 как $5^1$: $5^{x^2-8} = 5^1$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: $x^2-8 = 1$.
Решаем полученное уравнение относительно $x^2$: $x^2 = 9$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей: $x = \pm\sqrt{9}$.
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Ответ: $3; -3$.

в) Исходное уравнение: $10^{x^2+2x} - 1 = 0$.
Перенесем 1 в правую часть: $10^{x^2+2x} = 1$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Представим 1 как $10^0$: $10^{x^2+2x} = 10^0$.
Приравниваем показатели степеней: $x^2+2x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки: $x(x+2) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $x_1 = 0$ или $x+2=0 \implies x_2 = -2$.
Ответ: $0; -2$.

г) Исходное уравнение: $2^{7-x^2} - 0,25 = 0$.
Перенесем 0,25 в правую часть: $2^{7-x^2} = 0,25$.
Представим десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби, а затем в виде степени с основанием 2: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Уравнение принимает вид: $2^{7-x^2} = 2^{-2}$.
Приравниваем показатели степеней: $7-x^2 = -2$.
Решаем уравнение относительно $x^2$: $x^2 = 7+2$.
$x^2 = 9$.
Извлекаем квадратный корень: $x = \pm\sqrt{9}$.
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Ответ: $3; -3$.

д) Исходное уравнение: $7^{x^2-1} - 49 = 0$.
Перенесем 49 в правую часть: $7^{x^2-1} = 49$.
Представим 49 как степень с основанием 7: $49 = 7^2$.
Уравнение принимает вид: $7^{x^2-1} = 7^2$.
Приравниваем показатели степеней: $x^2-1 = 2$.
Решаем уравнение относительно $x^2$: $x^2 = 3$.
Извлекаем квадратный корень: $x = \pm\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}; -\sqrt{3}$.

е) Исходное уравнение: $0,25^{3-x^2} = 16$.
Для решения приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $0,25 = \frac{1}{4}$ и $16=4^2$. Удобно использовать основание 4.
Представим 0,25 как степень с основанием 4: $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$.
Подставим это в левую часть уравнения: $(4^{-1})^{3-x^2} = 16$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $4^{-1 \cdot (3-x^2)} = 16 \implies 4^{-3+x^2} = 16$.
Теперь представим правую часть как степень с основанием 4: $16=4^2$.
$4^{x^2-3} = 4^2$.
Приравниваем показатели степеней: $x^2-3 = 2$.
Решаем уравнение относительно $x^2$: $x^2 = 5$.
Извлекаем квадратный корень: $x = \pm\sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}; -\sqrt{5}$.