Номер 2.121, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.121. Найдите корни уравнения:

a) $7^x \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^x = 3;$

б) $\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \frac{9}{25};$

в) $5^{x-1} \cdot 2^{x-1} = 1000;$

г) $0,3^{x+2} \cdot 3^{x+2} = \sqrt[5]{0,81}.$

а) $7^x \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^x = 3$

Используем свойство степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для левой части уравнения:

$\left(7 \cdot \frac{3}{7}\right)^x = 3$

Упрощаем выражение в скобках:

$3^x = 3$

Представим правую часть как степень с основанием 3 (любое число в первой степени равно самому себе, т.е. $3 = 3^1$):

$3^x = 3^1$

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$x = 1$

Ответ: $1$

б) $\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \frac{9}{25}$

Применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ к левой части:

$\left(\frac{1}{5} \cdot 3\right)^x = \frac{9}{25}$

$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{9}{25}$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{3}{5}$:

$\frac{9}{25} = \frac{3^2}{5^2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2$

Теперь уравнение имеет вид:

$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^2$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x = 2$

Ответ: $2$

в) $5^{x-1} \cdot 2^{x-1} = 1000$

Используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для левой части:

$(5 \cdot 2)^{x-1} = 1000$

$10^{x-1} = 1000$

Представим правую часть как степень с основанием 10:

$1000 = 10^3$

Получаем уравнение:

$10^{x-1} = 10^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 1 = 3$

$x = 3 + 1$

$x = 4$

Ответ: $4$

г) $0,3^{x+2} \cdot 3^{x+2} = \sqrt[5]{0,81}$

Применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ к левой части уравнения:

$(0,3 \cdot 3)^{x+2} = \sqrt[5]{0,81}$

$(0,9)^{x+2} = \sqrt[5]{0,81}$

Преобразуем правую часть. Заметим, что $0,81 = 0,9^2$. Используем свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[5]{0,81} = \sqrt[5]{(0,9)^2} = (0,9)^{\frac{2}{5}}$

Теперь уравнение выглядит так:

$(0,9)^{x+2} = (0,9)^{\frac{2}{5}}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x + 2 = \frac{2}{5}$

$x = \frac{2}{5} - 2$

$x = \frac{2}{5} - \frac{10}{5}$

$x = -\frac{8}{5}$

$x = -1,6$

Ответ: $-1,6$