Номер 2.125, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.125. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 3^{x+y} = 81, \\ 2^y = 8^x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5^{2x} \cdot 5^y = 5, \\ 7^x \cdot 7^y = 49; \end{cases}$

В) $\begin{cases} 5^{3x-y} = \sqrt[3]{5}, \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-y} = \frac{1}{\sqrt{3}}. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3^{x+y} = 81 \\ 2^y = 8^x \end{cases}$$

Преобразуем каждое уравнение, приведя обе его части к одному основанию.

В первом уравнении представим число $81$ как степень числа $3$: $81 = 3^4$.
Уравнение примет вид $3^{x+y} = 3^4$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$$x+y = 4$$

Во втором уравнении представим число $8$ как степень числа $2$: $8 = 2^3$.
Тогда $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.
Уравнение примет вид $2^y = 2^{3x}$.
Приравнивая показатели степеней, получаем:

$$y = 3x$$

Теперь решим получившуюся систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 4 \\ y = 3x \end{cases}$$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x + (3x) = 4$
$4x = 4$
$x = 1$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=1$ во второе уравнение:

$y = 3 \cdot 1 = 3$

Решением системы является пара чисел $(1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5^{2x} \cdot 5^y = 5 \\ 7^x \cdot 7^y = 49 \end{cases}$$

Упростим каждое уравнение, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Первое уравнение: $5^{2x+y} = 5^1$. Приравнивая показатели, получаем:

$$2x+y=1$$

Второе уравнение: $7^{x+y} = 49$. Так как $49=7^2$, то $7^{x+y} = 7^2$. Приравнивая показатели, получаем:

$$x+y=2$$

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x+y=1 \\ x+y=2 \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(2x+y) - (x+y) = 1 - 2$
$2x+y-x-y = -1$
$x = -1$

Подставим найденное значение $x=-1$ во второе уравнение $x+y=2$:

$-1 + y = 2$
$y = 3$

Решением системы является пара чисел $(-1; 3)$.

Ответ: $(-1; 3)$

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5^{3x-y} = \sqrt[3]{5} \\ (\frac{1}{3})^{2x-y} = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{cases}$$

Преобразуем оба уравнения, чтобы привести их к виду с одинаковыми основаниями.

Для первого уравнения: $\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$. Уравнение принимает вид $5^{3x-y} = 5^{1/3}$. Приравнивая показатели, получаем:

$$3x-y = \frac{1}{3}$$

Для второго уравнения: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-1/2}$. Уравнение принимает вид $(3^{-1})^{2x-y} = 3^{-1/2}$, или $3^{-(2x-y)} = 3^{-1/2}$, что равносильно $3^{y-2x} = 3^{-1/2}$. Приравнивая показатели, получаем:

$$y-2x = -\frac{1}{2}$$

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 3x-y = \frac{1}{3} \\ y-2x = -\frac{1}{2} \end{cases}$$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $y$:

$(3x-y) + (y-2x) = \frac{1}{3} + (-\frac{1}{2})$
$x = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$

Подставим $x = -\frac{1}{6}$ во второе уравнение $y-2x = -\frac{1}{2}$ чтобы найти $y$:

$y - 2(-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{2}$
$y + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}$
$y = -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = -\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{5}{6}$

Решением системы является пара чисел $(-\frac{1}{6}; -\frac{5}{6})$.

Ответ: $(-\frac{1}{6}; -\frac{5}{6})$