Номер 2.119, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.119. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции:

a) $y = 27^{-3} \cdot 9^{x+2}$ и прямой $y = 81$;

б) $y = 4^{x+2} : 2^x$ и прямой $y = 8$;

в) $y = \sqrt{7} \cdot 7^{3x}$ и прямой $y = \frac{1}{7}$.

а) Чтобы найти абсциссу точки пересечения графика функции $y = 27^{-3} \cdot 9^{x+2}$ и прямой $y = 81$, необходимо приравнять правые части этих уравнений:

$27^{-3} \cdot 9^{x+2} = 81$

Для решения показательного уравнения приведем все числа к основанию 3, так как $27 = 3^3$, $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$.

$(3^3)^{-3} \cdot (3^2)^{x+2} = 3^4$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$3^{-9} \cdot 3^{2(x+2)} = 3^4$

$3^{-9} \cdot 3^{2x+4} = 3^4$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$3^{-9 + 2x + 4} = 3^4$

$3^{2x - 5} = 3^4$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$2x - 5 = 4$

$2x = 9$

$x = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$

б) Чтобы найти абсциссу точки пересечения графика функции $y = 4^{x+2} : 2^x$ и прямой $y = 8$, приравняем правые части уравнений:

$4^{x+2} : 2^x = 8$

Запишем деление в виде дроби:

$\frac{4^{x+2}}{2^x} = 8$

Приведем все числа к основанию 2: $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

$\frac{(2^2)^{x+2}}{2^x} = 2^3$

Используя свойства степеней, упростим левую часть:

$\frac{2^{2(x+2)}}{2^x} = 2^3$

$\frac{2^{2x+4}}{2^x} = 2^3$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$2^{(2x+4)-x} = 2^3$

$2^{x+4} = 2^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x+4 = 3$

$x = 3 - 4$

$x = -1$

Ответ: $-1$

в) Чтобы найти абсциссу точки пересечения графика функции $y = \sqrt{7} \cdot 7^{3x}$ и прямой $y = \frac{1}{7}$, приравняем правые части уравнений:

$\sqrt{7} \cdot 7^{3x} = \frac{1}{7}$

Приведем все члены уравнения к степени с основанием 7: $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.

$7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{3x} = 7^{-1}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$7^{\frac{1}{2} + 3x} = 7^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{1}{2} + 3x = -1$

$3x = -1 - \frac{1}{2}$

$3x = -\frac{3}{2}$

$x = -\frac{3}{2} : 3$

$x = -\frac{1}{2} = -0.5$

Ответ: $-0.5$