Номер 2.123, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.123. Решите уравнение:

а) $3^{x+2} + 3^{x+3} = 108$;

б) $5^{x+2} - 5^x = 120$;

в) $2^x + 3 \cdot 2^{x-3} = 22$.

а) $3^{x+2} + 3^{x+3} = 108$

Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Преобразуем слагаемые в левой части уравнения:

$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$

$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$9 \cdot 3^x + 27 \cdot 3^x = 108$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(9 + 27) = 108$

Выполним сложение в скобках:

$3^x \cdot 36 = 108$

Разделим обе части уравнения на 36, чтобы найти $3^x$:

$3^x = \frac{108}{36}$

$3^x = 3$

Так как $3 = 3^1$, то мы можем приравнять показатели степеней, поскольку основания равны:

$x = 1$

Ответ: $1$

б) $5^{x+2} - 5^x = 120$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать первое слагаемое.

$5^{x+2} = 5^x \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^x$

Подставим это выражение в уравнение:

$25 \cdot 5^x - 5^x = 120$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(25 - 1) = 120$

Выполним вычитание в скобках:

$5^x \cdot 24 = 120$

Разделим обе части уравнения на 24:

$5^x = \frac{120}{24}$

$5^x = 5$

Так как $5 = 5^1$, приравниваем показатели степеней:

$x = 1$

Ответ: $1$

в) $2^x + 3 \cdot 2^{x-3} = 22$

Воспользуемся свойством степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

Преобразуем второе слагаемое:

$2^{x-3} = 2^x \cdot 2^{-3} = 2^x \cdot \frac{1}{2^3} = 2^x \cdot \frac{1}{8}$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$2^x + 3 \cdot \left(2^x \cdot \frac{1}{8}\right) = 22$

$2^x + \frac{3}{8} \cdot 2^x = 22$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x\left(1 + \frac{3}{8}\right) = 22$

Выполним сложение в скобках:

$1 + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} + \frac{3}{8} = \frac{11}{8}$

Подставим результат в уравнение:

$2^x \cdot \frac{11}{8} = 22$

Чтобы найти $2^x$, умножим обе части уравнения на $\frac{8}{11}$:

$2^x = 22 \cdot \frac{8}{11}$

$2^x = \frac{22 \cdot 8}{11} = 2 \cdot 8 = 16$

Теперь представим 16 как степень с основанием 2:

$16 = 2^4$

Следовательно, $2^x = 2^4$. Приравниваем показатели степеней:

$x = 4$

Ответ: $4$