Номер 2.129, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.129. Решите уравнение, используя прием решения однородных уравнений:

а) $5^{x+6} = 7^{x+6}$;

б) $2^{2x-9} = 3^{9-2x}$;

в) $5^{3x^2-15x} = 2^{x^2-5x}$.

а) $5^{x+6} = 7^{x+6}$

Данное уравнение является показательным. Основания степеней различны ($5$ и $7$), а показатели одинаковы ($x+6$). Чтобы решить это уравнение, разделим обе его части на $7^{x+6}$. Так как выражение $7^{x+6}$ всегда больше нуля, это преобразование является равносильным (не приводит к потере или появлению посторонних корней).

$\frac{5^{x+6}}{7^{x+6}} = \frac{7^{x+6}}{7^{x+6}}$

Используя свойство частного степеней с одинаковыми показателями $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получим:

$(\frac{5}{7})^{x+6} = 1$

Равенство $a^y = 1$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) выполняется только тогда, когда показатель степени $y$ равен нулю. В нашем случае основание $\frac{5}{7} \neq 1$. Следовательно, приравниваем показатель степени к нулю:

$x+6 = 0$

$x = -6$

Ответ: $-6$.

б) $2^{2x-9} = 3^{9-2x}$

В этом уравнении основания степеней ($2$ и $3$) различны. Обратим внимание на показатели: $2x-9$ и $9-2x$. Они являются противоположными числами, так как $9-2x = -(2x-9)$. Перепишем правую часть уравнения, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3^{9-2x} = 3^{-(2x-9)} = \frac{1}{3^{2x-9}}$

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$2^{2x-9} = \frac{1}{3^{2x-9}}$

Умножим обе части уравнения на $3^{2x-9}$ (это выражение всегда положительно):

$2^{2x-9} \cdot 3^{2x-9} = 1$

Используя свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, получим:

$(2 \cdot 3)^{2x-9} = 1$

$6^{2x-9} = 1$

Так как основание $6 \neq 1$, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю.

$2x-9 = 0$

$2x = 9$

$x = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$.

в) $5^{3x^2-15x} = 2^{x^2-5x}$

В данном уравнении основания степеней ($5$ и $2$) различны. Рассмотрим показатели степеней: $3x^2-15x$ и $x^2-5x$. Преобразуем показатель степени в левой части уравнения, вынеся общий множитель 3 за скобки:

$3x^2 - 15x = 3(x^2 - 5x)$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$5^{3(x^2 - 5x)} = 2^{x^2 - 5x}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перепишем левую часть:

$(5^3)^{x^2 - 5x} = 2^{x^2 - 5x}$

$125^{x^2 - 5x} = 2^{x^2 - 5x}$

Теперь уравнение имеет вид, аналогичный пункту а): разные основания ($125$ и $2$) и одинаковые показатели ($x^2-5x$). Разделим обе части уравнения на $2^{x^2 - 5x}$ (это выражение всегда положительно):

$\frac{125^{x^2 - 5x}}{2^{x^2 - 5x}} = 1$

$(\frac{125}{2})^{x^2 - 5x} = 1$

Так как основание $\frac{125}{2} \neq 1$, равенство возможно только тогда, когда показатель степени равен нулю.

$x^2 - 5x = 0$

Решим это неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$x_1 = 0$ или $x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 5$.