Номер 2.136, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.136. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

а) $3^x - 9 \cdot 3^{-x} = 8;$

б) $2^{x+3} - 2^{1-x} = 15.$

а) $3^x - 9 \cdot 3^{-x} = 8$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3^x - 9 \cdot \frac{1}{3^x} = 8$

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t - \frac{9}{t} = 8$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$t^2 - 9 = 8t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 > 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 < 0$, поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t_1 = 9$:

$3^x = 9$

Представим 9 как степень 3:

$3^x = 3^2$

Отсюда следует, что $x=2$.

Ответ: $2$.

б) $2^{x+3} - 2^{1-x} = 15$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$2^x \cdot 2^3 - 2^1 \cdot 2^{-x} = 15$

$8 \cdot 2^x - 2 \cdot \frac{1}{2^x} = 15$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$8t - \frac{2}{t} = 15$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$8t^2 - 2 = 15t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$8t^2 - 15t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-2) = 225 + 64 = 289$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{15 + 17}{16} = \frac{32}{16} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{15 - 17}{16} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}$

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 0$.

Корень $t_2 = -\frac{1}{8}$ не удовлетворяет условию $-\frac{1}{8} < 0$, поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t_1 = 2$:

$2^x = 2$

Представим 2 как $2^1$:

$2^x = 2^1$

Отсюда следует, что $x=1$.

Ответ: $1$.