Номер 2.141, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.141*. Решите уравнение $\sqrt{x+1} \cdot (4 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^{-x} - 9) = 0$.

Исходное уравнение:

$$ \sqrt{x+1} \cdot (4 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^{-x} - 9) = 0 $$

Для решения уравнения найдем сначала область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$$ x + 1 \ge 0 $$

$$ x \ge -1 $$

Таким образом, ОДЗ данного уравнения: $x \in [-1; +\infty)$.

Произведение двух множителей равно нулю в том случае, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла (определен).

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1. Первый множитель равен нулю:

$$ \sqrt{x+1} = 0 $$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$ x + 1 = 0 $$

$$ x_1 = -1 $$

Полученный корень $x = -1$ принадлежит ОДЗ ($ -1 \ge -1 $), следовательно, он является решением исходного уравнения.

Случай 2. Второй множитель равен нулю:

$$ 4 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^{-x} - 9 = 0 $$

Используем свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и перепишем уравнение:

$$ 4 \cdot 2^x + \frac{2}{2^x} - 9 = 0 $$

Для решения этого показательного уравнения введем замену. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ (где $a>0, a\ne1$) всегда принимает только положительные значения, то $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$$ 4t + \frac{2}{t} - 9 = 0 $$

Умножим обе части уравнения на $t$ (это допустимо, так как мы установили, что $t \neq 0$):

$$ 4t^2 + 2 - 9t = 0 $$

Запишем в стандартном виде квадратного уравнения:

$$ 4t^2 - 9t + 2 = 0 $$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$$ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2 $$

$$ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$

$$ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 $$

Оба найденных значения $t$ положительны, поэтому они удовлетворяют условию $t>0$.

Теперь выполним обратную замену:

1) При $t = \frac{1}{4}$:

$$ 2^x = \frac{1}{4} $$

$$ 2^x = 2^{-2} $$

$$ x_2 = -2 $$

2) При $t = 2$:

$$ 2^x = 2 $$

$$ 2^x = 2^1 $$

$$ x_3 = 1 $$

На последнем шаге необходимо проверить все найденные корни ($x_1=-1, x_2=-2, x_3=1$) на соответствие ОДЗ ($x \ge -1$).

• Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.
• Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 < -1$. Это посторонний корень.
• Корень $x_3 = 1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1 \ge -1$.

Таким образом, решениями уравнения являются два числа.

Ответ: $-1; 1$.