Номер 2.134, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.134. Решите уравнение:

а) $81^x - 5^{2x} - 4 \cdot 9^{2x-1} = 4 \cdot 5^{2x-1}$,

б) $\sqrt{3^{x-54}} - 7\sqrt{3^{x-58}} = 162$.

а) $81^x - 5^{2x} - 4 \cdot 9^{2x-1} = 4 \cdot 5^{2x-1}$

Сначала преобразуем уравнение, сгруппировав слагаемые с одинаковыми основаниями. Перенесем слагаемые с основанием 5 в правую часть, а с основаниями 9 и 81 - в левую.

$81^x - 4 \cdot 9^{2x-1} = 5^{2x} + 4 \cdot 5^{2x-1}$

Приведем степени к одному основанию. Заметим, что $81 = 9^2$. Также используем свойство степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$.

$(9^2)^x - 4 \cdot 9^{2x} \cdot 9^{-1} = 5^{2x} + 4 \cdot 5^{2x} \cdot 5^{-1}$

$9^{2x} - 4 \cdot \frac{1}{9} \cdot 9^{2x} = 5^{2x} + 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot 5^{2x}$

$9^{2x} - \frac{4}{9} \cdot 9^{2x} = 5^{2x} + \frac{4}{5} \cdot 5^{2x}$

Вынесем общие множители $9^{2x}$ и $5^{2x}$ за скобки в левой и правой частях уравнения соответственно:

$9^{2x} \left(1 - \frac{4}{9}\right) = 5^{2x} \left(1 + \frac{4}{5}\right)$

Выполним вычисления в скобках:

$9^{2x} \left(\frac{9-4}{9}\right) = 5^{2x} \left(\frac{5+4}{5}\right)$

$9^{2x} \cdot \frac{5}{9} = 5^{2x} \cdot \frac{9}{5}$

Разделим обе части уравнения на $5^{2x}$ (это возможно, так как $5^{2x} > 0$ при любом $x$) и умножим на $\frac{9}{5}$:

$\frac{9^{2x}}{5^{2x}} = \frac{9}{5} \cdot \frac{9}{5}$

Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$, получим:

$\left(\frac{9}{5}\right)^{2x} = \left(\frac{9}{5}\right)^2$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$2x = 2$

$x = 1$

Ответ: $1$

б) $\sqrt{3^{x-54}} - 7\sqrt{3^{x-58}} = 162$

Область допустимых значений для $x$ - все действительные числа, так как показательная функция $3^k$ всегда положительна, а значит, подкоренные выражения всегда неотрицательны.

Преобразуем подкоренные выражения, чтобы выделить общий множитель. Используем свойство степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$.

Представим $3^{x-54}$ через $3^{x-58}$:

$3^{x-54} = 3^{(x-58)+4} = 3^{x-58} \cdot 3^4 = 81 \cdot 3^{x-58}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{81 \cdot 3^{x-58}} - 7\sqrt{3^{x-58}} = 162$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt{81} \cdot \sqrt{3^{x-58}} - 7\sqrt{3^{x-58}} = 162$

$9\sqrt{3^{x-58}} - 7\sqrt{3^{x-58}} = 162$

Приведем подобные слагаемые в левой части, вынеся общий множитель $\sqrt{3^{x-58}}$ за скобки:

$(9-7)\sqrt{3^{x-58}} = 162$

$2\sqrt{3^{x-58}} = 162$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{3^{x-58}} = 81$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3^{x-58}})^2 = 81^2$

$3^{x-58} = (3^4)^2$

$3^{x-58} = 3^8$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x-58 = 8$

$x = 8 + 58$

$x = 66$

Ответ: $66$