Номер 2.133, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.133. Решите уравнение, используя свойства функций:

a) $2^x = 3 - x$;

б) $(\frac{1}{3})^x = x + 1$.

а) Для решения уравнения $2^x = 3 - x$ рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = 3 - x$.
Проанализируем свойства этих функций:

• Функция $y_1(x) = 2^x$ является показательной функцией с основанием $a=2$, где $a>1$. Следовательно, эта функция является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
• Функция $y_2(x) = 3 - x$ является линейной функцией с угловым коэффициентом $k=-1$, где $k<0$. Следовательно, эта функция является строго убывающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Если на некотором промежутке одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, то уравнение, в котором они приравниваются, может иметь не более одного корня. В нашем случае это верно для всей числовой прямой.
Найдем этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.
При $x=1$:
Левая часть: $2^1 = 2$.
Правая часть: $3 - 1 = 2$.
Поскольку левая и правая части равны ($2=2$), $x=1$ является корнем уравнения.
Так как мы установили, что уравнение не может иметь более одного корня, то найденный корень является единственным.
Ответ: $1$.

б) Для решения уравнения $(\frac{1}{3})^x = x + 1$ рассмотрим две функции: $y_1(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2(x) = x + 1$.
Проанализируем свойства этих функций:

• Функция $y_1(x) = (\frac{1}{3})^x$ является показательной функцией с основанием $a=\frac{1}{3}$, где $0<a<1$. Следовательно, эта функция является строго убывающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
• Функция $y_2(x) = x + 1$ является линейной функцией с угловым коэффициентом $k=1$, где $k>0$. Следовательно, эта функция является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает на всей числовой прямой, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.
При $x=0$:
Левая часть: $(\frac{1}{3})^0 = 1$.
Правая часть: $0 + 1 = 1$.
Поскольку $1=1$, $x=0$ является корнем уравнения.
В силу монотонности функций, других корней у уравнения нет.
Ответ: $0$.