Номер 2.132, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.132. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 2^{2x+1} + 3^{2x+1}$ и $y = 5 \cdot 6^x$.

Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков функций необходимо приравнять выражения для $y$ этих функций:

$2^{2x+1} + 3^{2x+1} = 5 \cdot 6^x$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{mn} = (a^m)^n$, чтобы преобразовать уравнение:

$2 \cdot 2^{2x} + 3 \cdot 3^{2x} = 5 \cdot (2 \cdot 3)^x$

$2 \cdot (2^2)^x + 3 \cdot (3^2)^x = 5 \cdot 2^x \cdot 3^x$

$2 \cdot 4^x + 3 \cdot 9^x = 5 \cdot 6^x$

Это однородное показательное уравнение. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на $6^x$. Так как $6^x > 0$ при любом значении $x$, эта операция является равносильной и не приведет к потере корней.

$\frac{2 \cdot 4^x}{6^x} + \frac{3 \cdot 9^x}{6^x} = \frac{5 \cdot 6^x}{6^x}$

Используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получаем:

$2 \cdot \left(\frac{4}{6}\right)^x + 3 \cdot \left(\frac{9}{6}\right)^x = 5$

Сократим дроби в основаниях степеней:

$2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = 5$

Теперь введем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Поскольку основание степени положительно, то и $t > 0$.

Тогда $\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-x} = \frac{1}{t}$.

Подставим $t$ в уравнение:

$2t + \frac{3}{t} = 5$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$2t^2 + 3 = 5t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2t^2 - 5t + 3 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Оба корня положительны, что соответствует условию $t>0$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

1. Если $t=1$:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^0$

$x = 0$

2. Если $t = \frac{3}{2}$:

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{3}{2}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$

$x = -1$

Следовательно, абсциссами точек пересечения графиков являются $x=0$ и $x=-1$.

Ответ: $-1; 0$.