Номер 2.138, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.138*: Решите уравнение $4^{\sqrt{x^2-2-x}} - 5 \cdot 2^{\sqrt{x^2-2-x}-1} = 6$.

Данное уравнение можно записать в виде:

$$4^{\sqrt{x^2-x-2}} - 5 \cdot 2^{\sqrt{x^2-x-2} - 1} = 6$$

1. Определение Области Допустимых Значений (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^2 - x - 2 \ge 0$$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

2. Преобразование и решение уравнения.

Представим $4$ как $2^2$ и используем свойство степени $a^{m-n} = a^m/a^n$:

$$(2^2)^{\sqrt{x^2-x-2}} - 5 \cdot \frac{2^{\sqrt{x^2-x-2}}}{2^1} = 6$$

$$2^{2\sqrt{x^2-x-2}} - \frac{5}{2} \cdot 2^{\sqrt{x^2-x-2}} - 6 = 0$$

Для упрощения уравнения введем замену. Пусть $t = 2^{\sqrt{x^2-x-2}}$.

Так как квадратный корень всегда неотрицателен ($\sqrt{x^2-x-2} \ge 0$), то показательная функция $t = 2^{\sqrt{x^2-x-2}}$ будет больше или равна $2^0 = 1$. Таким образом, для новой переменной $t$ имеем ограничение $t \ge 1$.

Подставив $t$ в уравнение, получаем квадратное уравнение:

$$t^2 - \frac{5}{2}t - 6 = 0$$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 2:

$$2t^2 - 5t - 12 = 0$$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2$$

Найдем корни для $t$:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$$

Сравним полученные корни с условием $t \ge 1$.

Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 1$.

Корень $t_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.

3. Обратная замена.

Вернемся к исходной переменной $x$, используя найденное значение $t=4$:

$$2^{\sqrt{x^2-x-2}} = 4$$

Так как $4=2^2$, имеем:

$$2^{\sqrt{x^2-x-2}} = 2^2$$

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$$\sqrt{x^2-x-2} = 2$$

Возведем обе части в квадрат:

$$x^2-x-2 = 4$$

$$x^2-x-6 = 0$$

4. Нахождение корней и проверка по ОДЗ.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 1$$$$x_1 \cdot x_2 = -6$$

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ ($x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$):

• $x = 3$: $3 \in [2, \infty)$, корень подходит.
• $x = -2$: $-2 \in (-\infty, -1]$, корень подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x=-2, x=3$.