Номер 2.135, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.135. Найдите нули функции $y = 9^{x^2} - 4 \cdot 3^{x^2} + 3.$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули данной функции, необходимо решить уравнение:

$9^{x^2} - 4 \cdot 3^{x^2} + 3 = 0$

Заметим, что основание $9$ можно представить как $3^2$. Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем первое слагаемое:

$9^{x^2} = (3^2)^{x^2} = 3^{2x^2} = (3^{x^2})^2$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$(3^{x^2})^2 - 4 \cdot 3^{x^2} + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $3^{x^2}$. Чтобы упростить его решение, введем замену переменной. Пусть $t = 3^{x^2}$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то показательная функция $3^{x^2} \ge 3^0 = 1$. Следовательно, для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t \ge 1$.

С учетом замены уравнение принимает вид:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = 3$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $t \ge 1$. Оба корня ($1$ и $3$) удовлетворяют этому условию.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

1. Для $t_1 = 1$:

$3^{x^2} = 1$

Так как любое число в степени 0 равно 1, можем записать $1$ как $3^0$:

$3^{x^2} = 3^0$

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$x^2 = 0 \implies x = 0$

2. Для $t_2 = 3$:

$3^{x^2} = 3$

Число $3$ можно представить как $3^1$:

$3^{x^2} = 3^1$

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$

Таким образом, нулями функции являются значения $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$.

Ответ: $-1; 0; 1$.