Номер 2.130, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.130. Решите уравнение:

а) $3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0;$

б) $5 \cdot 5^{2x} - 13 \cdot 15^x + 6 \cdot 3^{2x} = 0;$

в) $3 \cdot 16^x + 36^x = 2 \cdot 81^x;$

г) $3 \cdot 4^x - 7 \cdot 10^x + 2 \cdot 25^x = 0.$

а) $3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $2^{2x} = (2^x)^2$, $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$, $3^{2x} = (3^x)^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot (3^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение второй степени. Поскольку $3^{2x} > 0$ при любом значении $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $3^{2x}$:

$3 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} - 5 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} + 2 \cdot \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$

$3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$3t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{6} = 1$ и $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Оба корня положительны, поэтому оба являются допустимыми решениями для $t$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t_1 = 1$, то $\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1$, что равносильно $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^0$. Отсюда $x = 0$.

2) Если $t_2 = \frac{2}{3}$, то $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3}$, что равносильно $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1$. Отсюда $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

б) $5 \cdot 5^{2x} - 13 \cdot 15^x + 6 \cdot 3^{2x} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $5^{2x} = (5^x)^2$, $15^x = (5 \cdot 3)^x = 5^x \cdot 3^x$, $3^{2x} = (3^x)^2$.

$5 \cdot (5^x)^2 - 13 \cdot 5^x \cdot 3^x + 6 \cdot (3^x)^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на $3^{2x} > 0$:

$5 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2x} - 13 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^x + 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{5}{3}\right)^x$, где $t > 0$.

$5t^2 - 13t + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{13 + 7}{10} = \frac{20}{10} = 2$ и $t_2 = \frac{13 - 7}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1) Если $t_1 = 2$, то $\left(\frac{5}{3}\right)^x = 2$. Отсюда $x = \log_{\frac{5}{3}}(2)$.

2) Если $t_2 = \frac{3}{5}$, то $\left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{3}{5}$, что равносильно $\left(\frac{5}{3}\right)^x = \left(\frac{5}{3}\right)^{-1}$. Отсюда $x = -1$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = \log_{\frac{5}{3}}(2)$.

в) $3 \cdot 16^x + 36^x = 2 \cdot 81^x$

Перенесем все члены в одну сторону: $3 \cdot 16^x + 36^x - 2 \cdot 81^x = 0$.

Преобразуем основания степеней: $16 = 4^2$, $36 = 4 \cdot 9$, $81 = 9^2$.

$3 \cdot (4^2)^x + (4 \cdot 9)^x - 2 \cdot (9^2)^x = 0$

$3 \cdot (4^x)^2 + 4^x \cdot 9^x - 2 \cdot (9^x)^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим обе части на $(9^x)^2 = 81^x > 0$:

$3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(9^x)^2} + \frac{4^x \cdot 9^x}{(9^x)^2} - 2 \cdot \frac{(9^x)^2}{(9^x)^2} = 0$

$3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} + \left(\frac{4}{9}\right)^x - 2 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x$, где $t > 0$.

$3t^2 + t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1$.

Так как $t > 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = \frac{2}{3}$:

$\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3}$

$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

г) $3 \cdot 4^x - 7 \cdot 10^x + 2 \cdot 25^x = 0$

Преобразуем основания степеней: $4^x = (2^x)^2$, $10^x = 2^x \cdot 5^x$, $25^x = (5^x)^2$.

$3 \cdot (2^x)^2 - 7 \cdot 2^x \cdot 5^x + 2 \cdot (5^x)^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим обе части на $(5^x)^2 = 25^x > 0$:

$3 \cdot \frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} - 7 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} + 2 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$

$3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x + 2 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{2}{5}\right)^x$, где $t > 0$.

$3t^2 - 7t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$ и $t_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1) Если $t_1 = 2$, то $\left(\frac{2}{5}\right)^x = 2$. Отсюда $x = \log_{\frac{2}{5}}(2)$.

2) Если $t_2 = \frac{1}{3}$, то $\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{1}{3}$. Отсюда $x = \log_{\frac{2}{5}}\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $x_1 = \log_{\frac{2}{5}}(2), x_2 = \log_{\frac{2}{5}}\left(\frac{1}{3}\right)$.