Номер 2.126, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.126. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

а) $36^x - 7 \cdot 6^x + 6 = 0;$

б) $100^x + 12 \cdot 10^x - 13 = 0;$

в) $16^x - 10 \cdot 4^x + 16 = 0;$

г) $25^x - 2 \cdot 5^x - 3 = 0;$

д) $9^x - 4 \cdot 3^x - 5 = 0;$

е) $25^x - 7 \cdot 5^x + 10 = 0.$

а) $36^x - 7 \cdot 6^x + 6 = 0$

Заметим, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$(6^x)^2 - 7 \cdot 6^x + 6 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 6^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 7t + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 6$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 1$, то $6^x = 1$. Так как $1 = 6^0$, получаем $6^x = 6^0$, откуда $x = 0$.

2) Если $t = 6$, то $6^x = 6$. Так как $6 = 6^1$, получаем $6^x = 6^1$, откуда $x = 1$.

Ответ: $0; 1$.

б) $100^x + 12 \cdot 10^x - 13 = 0$

Представим $100^x$ как $(10^2)^x = (10^x)^2$. Уравнение примет вид:

$(10^x)^2 + 12 \cdot 10^x - 13 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 10^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 12t - 13 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-12 \pm 14}{2}$.

$t_1 = \frac{-12 - 14}{2} = -13$.

$t_2 = \frac{-12 + 14}{2} = 1$.

Корень $t_1 = -13$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним.

Вернемся к замене с $t_2 = 1$:

$10^x = 1 \implies 10^x = 10^0 \implies x = 0$.

Ответ: $0$.

в) $16^x - 10 \cdot 4^x + 16 = 0$

Так как $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$, уравнение можно переписать:

$(4^x)^2 - 10 \cdot 4^x + 16 = 0$

Введем замену $t = 4^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 10t + 16 = 0$

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 10$ и $t_1 \cdot t_2 = 16$. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 8$.

Оба корня положительны и подходят по условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1) $4^x = 2 \implies (2^2)^x = 2^1 \implies 2^{2x} = 2^1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.

2) $4^x = 8 \implies (2^2)^x = 2^3 \implies 2^{2x} = 2^3 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{3}{2}$.

г) $25^x - 2 \cdot 5^x - 3 = 0$

Перепишем уравнение, используя свойство $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$:

$(5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 3 = 0$

Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 3$:

$5^x = 3$.

По определению логарифма, $x = \log_5 3$.

Ответ: $\log_5 3$.

д) $9^x - 4 \cdot 3^x - 5 = 0$

Так как $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, уравнение можно переписать:

$(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x - 5 = 0$

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 4t - 5 = 0$

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 4$ и $t_1 \cdot t_2 = -5$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 5$:

$3^x = 5$.

Отсюда, $x = \log_3 5$.

Ответ: $\log_3 5$.

е) $25^x - 7 \cdot 5^x + 10 = 0$

Перепишем уравнение, используя свойство $25^x = (5^x)^2$:

$(5^x)^2 - 7 \cdot 5^x + 10 = 0$

Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 7t + 10 = 0$

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 7$ и $t_1 \cdot t_2 = 10$. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 5$.

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1) $5^x = 2 \implies x = \log_5 2$.

2) $5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.

Ответ: $\log_5 2; 1$.