Номер 2.131, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.131. Найдите нули функции $y = 2^{2x+1} + 25^{x+0.5} - 7 \cdot 10^x$.

Для нахождения нулей функции необходимо приравнять значение функции к нулю:

$y = 2^{2x+1} + 25^{x+0,5} - 7 \cdot 10^x = 0$

Преобразуем каждый член уравнения, используя свойства степеней, чтобы привести их к общим основаниям.

1. $2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = (2^2)^x \cdot 2 = 2 \cdot 4^x$

2. $25^{x+0,5} = 25^x \cdot 25^{0,5} = (5^2)^x \cdot \sqrt{25} = 5^{2x} \cdot 5 = 5 \cdot 25^x$

3. $10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$2 \cdot 4^x + 5 \cdot 25^x - 7 \cdot (2^x \cdot 5^x) = 0$

Переставим слагаемые для удобства:

$5 \cdot 25^x - 7 \cdot 10^x + 2 \cdot 4^x = 0$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Чтобы его решить, разделим все его члены на $4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого действительного значения $x$, это преобразование является равносильным.

$5 \cdot \frac{25^x}{4^x} - 7 \cdot \frac{10^x}{4^x} + 2 \cdot \frac{4^x}{4^x} = 0$

$5 \cdot \left(\frac{25}{4}\right)^x - 7 \cdot \left(\frac{10}{4}\right)^x + 2 = 0$

Упростим основания степеней:

$5 \cdot \left(\left(\frac{5}{2}\right)^2\right)^x - 7 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x + 2 = 0$

$5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x + 2 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$5t^2 - 7t + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 + 3}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Оба корня ($1$ и $\frac{2}{5}$) положительны, следовательно, оба удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $t = 1$

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{5}{2}$:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = \left(\frac{5}{2}\right)^0$

Отсюда $x_1 = 0$.

Случай 2: $t = \frac{2}{5}$

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = \frac{2}{5}$

Представим $\frac{2}{5}$ как степень с основанием $\frac{5}{2}$:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = \left(\frac{5}{2}\right)^{-1}$

Отсюда $x_2 = -1$.

Таким образом, нулями функции являются $x=0$ и $x=-1$.

Ответ: $-1; 0$.