Номер 2.127, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.127. Найдите нули функции:

а) $y = \left(\frac{1}{9}\right)^x - 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x - 27;$

б) $y = 4^x - 2^{x+1} - 15.$

а) Для нахождения нулей функции необходимо приравнять ее к нулю: $(\frac{1}{9})^x - 6 \cdot (\frac{1}{3})^x - 27 = 0$. Поскольку $(\frac{1}{9})^x = ((\frac{1}{3})^2)^x = ((\frac{1}{3})^x)^2$, уравнение можно привести к квадратному виду. Сделаем замену переменной: пусть $t = (\frac{1}{3})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Получим квадратное уравнение относительно $t$: $t^2 - 6t - 27 = 0$. Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{6 - 12}{2} = -3$ и $t_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9$. Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним. Единственный подходящий корень $t_2 = 9$. Вернемся к исходной переменной: $(\frac{1}{3})^x = 9$. Представим 9 в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $9 = 3^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$. Получаем уравнение $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{-2}$, откуда следует, что $x = -2$. Ответ: -2.

б) Для нахождения нулей функции приравняем ее к нулю: $4^x - 2^{x+1} - 15 = 0$. Приведем все степени к одному основанию 2: $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$. Уравнение принимает вид: $(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 15 = 0$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом $x$, то $t > 0$. Получим квадратное уравнение: $t^2 - 2t - 15 = 0$. Найдем корни по теореме Виета: сумма корней равна 2, произведение равно -15. Следовательно, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$. Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним. Остается корень $t_1 = 5$. Выполним обратную замену: $2^x = 5$. По определению логарифма, $x = \log_2 5$. Ответ: $\log_2 5$.