Номер 2.122, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.122. Решите уравнение, приведя степени в обеих частях уравнения к степеням с одинаковыми основаниями:

а) $2^x \cdot 5^x = 0,1 \cdot (10^x - 1)^5$;

б) $(\sqrt{5})^{x+1} : 4^{x+1} = \frac{5}{16}$;

в) $\frac{36 \cdot 27^{x^2}}{4^{5x}} = \frac{3^{10x}}{6 \cdot 8^{x^2}}$.

а) Исходное уравнение: $2^x \cdot 5^x = 0.1 \cdot (10^{x-1})^5$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$2^x \cdot 5^x = (2 \cdot 5)^x = 10^x$.
Теперь преобразуем правую часть. Представим десятичную дробь $0.1$ в виде степени $10^{-1}$ и раскроем скобки, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$0.1 \cdot (10^{x-1})^5 = 10^{-1} \cdot 10^{5(x-1)} = 10^{-1} \cdot 10^{5x-5}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$10^{-1} \cdot 10^{5x-5} = 10^{-1 + 5x - 5} = 10^{5x-6}$.
В результате уравнение принимает вид:
$10^x = 10^{5x-6}$.
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 5x - 6$
$6 = 5x - x$
$6 = 4x$
$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$.

б) Исходное уравнение: $(\sqrt{5})^{x+1} : 4^{x+1} = \frac{5}{16}$.
Запишем деление в левой части в виде дроби и применим свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:
$\frac{(\sqrt{5})^{x+1}}{4^{x+1}} = (\frac{\sqrt{5}}{4})^{x+1}$.
Теперь преобразуем правую часть уравнения так, чтобы получить степень с тем же основанием $\frac{\sqrt{5}}{4}$. Для этого представим $5$ как $(\sqrt{5})^2$ и $16$ как $4^2$:
$\frac{5}{16} = \frac{(\sqrt{5})^2}{4^2} = (\frac{\sqrt{5}}{4})^2$.
Уравнение принимает вид:
$(\frac{\sqrt{5}}{4})^{x+1} = (\frac{\sqrt{5}}{4})^2$.
Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x + 1 = 2$
$x = 2 - 1$
$x = 1$.
Ответ: $1$.

в) Исходное уравнение: $\frac{36 \cdot 27^{x^2}}{4^{5x}} = \frac{3^{10x}}{6 \cdot 8^{x^2}}$.
Чтобы решить это уравнение, приведем все числовые коэффициенты и основания степеней к простым основаниям, в данном случае это 2 и 3:
$36 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$
$27 = 3^3$
$4 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
Подставим эти разложения в исходное уравнение:
$\frac{(2^2 \cdot 3^2) \cdot (3^3)^{x^2}}{(2^2)^{5x}} = \frac{3^{10x}}{(2 \cdot 3) \cdot (2^3)^{x^2}}$.
Теперь упростим выражение, используя свойства степеней:
$\frac{2^2 \cdot 3^2 \cdot 3^{3x^2}}{2^{10x}} = \frac{3^{10x}}{2^1 \cdot 3^1 \cdot 2^{3x^2}}$
$\frac{2^2 \cdot 3^{2+3x^2}}{2^{10x}} = \frac{3^{10x}}{2^{1+3x^2} \cdot 3^1}$
Применим свойства частного степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$2^{2-10x} \cdot 3^{2+3x^2} = 2^{-(1+3x^2)} \cdot 3^{10x-1}$.
Так как равенство должно выполняться, показатели степеней при одинаковых основаниях (2 и 3) в левой и правой частях должны быть равны. Составим систему уравнений для показателей:
1) Для основания 2: $2 - 10x = -(1 + 3x^2) \Rightarrow 2 - 10x = -1 - 3x^2 \Rightarrow 3x^2 - 10x + 3 = 0$.
2) Для основания 3: $2 + 3x^2 = 10x - 1 \Rightarrow 3x^2 - 10x + 3 = 0$.
Оба уравнения идентичны. Решим квадратное уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
Находим корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.
$x_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $3; \frac{1}{3}$.