Номер 2.118, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.118. Решите уравнение:

а) $0,3^{\sqrt{3x-5}} = 0,09$;

б) $2^{\sqrt{3x-5}} = \frac{1}{2^{x-11}}$.

а) $0,3^{\sqrt{3x-5}} = 0,09$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. Заметим, что правая часть уравнения $0,09$ является квадратом левой части $0,3$.

$0,09 = (0,3)^2$

Подставим это в исходное уравнение:

$0,3^{\sqrt{3x-5}} = 0,3^2$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\sqrt{3x-5} = 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$3x-5 \ge 0 \implies 3x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{3}$

Для решения иррационального уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{3x-5})^2 = 2^2$

$3x-5 = 4$

$3x = 4 + 5$

$3x = 9$

$x = 3$

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $3 > \frac{5}{3}$, корень $x=3$ является решением уравнения.

Ответ: $x=3$

б) $2^{\sqrt{3x-5}} = \frac{1}{2^{x-11}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Используем свойство степени $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $ для правой части:

$\frac{1}{2^{x-11}} = 2^{-(x-11)} = 2^{11-x}$

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{\sqrt{3x-5}} = 2^{11-x}$

Приравниваем показатели степеней:

$\sqrt{3x-5} = 11-x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Она определяется двумя условиями:

1. По-прежнему, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x-5 \ge 0 \implies x \ge \frac{5}{3}$.

2. Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $11-x \ge 0 \implies x \le 11$.

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $\frac{5}{3} \le x \le 11$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{3x-5} = 11-x$ в квадрат:

$3x-5 = (11-x)^2$

$3x-5 = 121 - 22x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 22x - 3x + 121 + 5 = 0$

$x^2 - 25x + 126 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 126, а сумма равна 25. Эти числа 7 и 18.

$x_1 = 7, \quad x_2 = 18$

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $[\frac{5}{3}, 11]$:

- Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию $\frac{5}{3} \le 7 \le 11$, значит, он является решением.

- Корень $x_2 = 18$ не удовлетворяет условию $18 \le 11$, значит, это посторонний корень.

Ответ: $x=7$