Номер 2.115, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.115. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции:

a) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{5-x}$ и прямой $y = 16\sqrt{2}$;

б) $y = (\sqrt{3})^{x^2-5}$ и прямой $y = \frac{1}{9}$;

в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-x}$ и прямой $y = \sqrt[4]{2}$.

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения функций (координаты $y$) равны.

$(\frac{1}{2})^{5-x} = 16\sqrt{2}$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к основанию 2.

Преобразуем левую часть: $(\frac{1}{2})^{5-x} = (2^{-1})^{5-x} = 2^{-(5-x)} = 2^{x-5}$.

Преобразуем правую часть: $16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{4 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{8}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{x-5} = 2^{\frac{9}{2}}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x - 5 = \frac{9}{2}$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 5 + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} + \frac{9}{2} = \frac{19}{2} = 9.5$

Ответ: $9.5$.

б) Приравниваем выражения для $y$:

$(\sqrt{3})^{x^2-5} = \frac{1}{9}$

Приведем обе части уравнения к основанию 3.

Левая часть: $(\sqrt{3})^{x^2-5} = (3^{\frac{1}{2}})^{x^2-5} = 3^{\frac{1}{2}(x^2-5)} = 3^{\frac{x^2-5}{2}}$.

Правая часть: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.

Получаем уравнение:

$3^{\frac{x^2-5}{2}} = 3^{-2}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$\frac{x^2-5}{2} = -2$

Решаем полученное квадратное уравнение:

$x^2-5 = -4$

$x^2 = -4 + 5$

$x^2 = 1$

Отсюда находим два корня:

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Ответ: $-1; 1$.

в) Приравниваем выражения для $y$:

$(\frac{1}{2})^{x^2-x} = \sqrt[4]{2}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2.

Левая часть: $(\frac{1}{2})^{x^2-x} = (2^{-1})^{x^2-x} = 2^{-(x^2-x)} = 2^{-x^2+x}$.

Правая часть: $\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}$.

Получаем уравнение:

$2^{-x^2+x} = 2^{\frac{1}{4}}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x^2 + x = \frac{1}{4}$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$0 = x^2 - x + \frac{1}{4}$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности:

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

Решаем полученное уравнение:

$x - \frac{1}{2} = 0$

$x = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $0.5$.