Номер 2.108, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.108*. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $3^{2x^2-4x-3} - 8 \cdot 3^{x^2} - 3^{4x+5} = 0.$

Дано показательное уравнение:

$$3^{2x^2-4x-3} - 8 \cdot 3^{x^2} - 3^{4x+5} = 0$$

Для решения этого уравнения преобразуем его таким образом, чтобы можно было выполнить замену переменной. Заметим, что уравнение не является однородным в стандартном виде. Попробуем разделить все члены уравнения на $3^{x^2}$. Так как $3^{x^2} > 0$ при любых действительных значениях $x$, это преобразование является равносильным.

$$\frac{3^{2x^2-4x-3}}{3^{x^2}} - \frac{8 \cdot 3^{x^2}}{3^{x^2}} - \frac{3^{4x+5}}{3^{x^2}} = 0$$

Применяя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим полученное выражение:

$$3^{(2x^2-4x-3) - x^2} - 8 - 3^{(4x+5) - x^2} = 0$$

$$3^{x^2-4x-3} - 8 - 3^{-x^2+4x+5} = 0$$

Рассмотрим показатель степени у третьего члена: $-x^2+4x+5$. Вынесем знак минус за скобки, чтобы увидеть связь с показателем первого члена:

$$-x^2+4x+5 = -(x^2-4x-5)$$

Представим $-5$ в виде $-3-2$, чтобы выделить выражение $x^2-4x-3$:

$$-(x^2-4x-3-2) = -(x^2-4x-3) + 2$$

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение:

$$3^{x^2-4x-3} - 8 - 3^{-(x^2-4x-3) + 2} = 0$$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем третий член:

$$3^{x^2-4x-3} - 8 - 3^{-(x^2-4x-3)} \cdot 3^2 = 0$$

$$3^{x^2-4x-3} - 8 - 9 \cdot 3^{-(x^2-4x-3)} = 0$$

Теперь можно ввести замену переменной. Пусть $y = 3^{x^2-4x-3}$. Учитывая, что значение показательной функции всегда положительно, имеем $y > 0$.

Уравнение с новой переменной $y$ выглядит так:

$$y - 8 - 9 \cdot y^{-1} = 0$$

$$y - 8 - \frac{9}{y} = 0$$

Умножим обе части уравнения на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$):

$$y^2 - 8y - 9 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней $y_1+y_2=8$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -9$. Отсюда легко найти корни:

$y_1 = 9$

$y_2 = -1$

Вспомним об ограничении $y > 0$. Корень $y_1 = 9$ удовлетворяет этому условию. Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет, следовательно, является посторонним.

Таким образом, у нас есть единственное решение для $y$: $y = 9$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$$3^{x^2-4x-3} = 9$$

Представим число 9 в виде степени с основанием 3:

$$3^{x^2-4x-3} = 3^2$$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$$x^2 - 4x - 3 = 2$$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$

Задача просит найти сумму корней этого уравнения. Для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ сумма корней $x_1 + x_2$ находится по теореме Виета как $-\frac{b}{a}$.

В нашем уравнении коэффициенты равны $a=1$, $b=-4$, $c=-5$.

Сумма корней равна:

$$x_1 + x_2 = -\frac{-4}{1} = 4$$

Для полной уверенности можно найти и сами корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Их сумма: $5 + (-1) = 4$.

Ответ: 4