Номер 2.107, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.107*. Найдите сумму корней уравнения $9 \cdot 5^{x^2-5x+2} - 5 \cdot 9^{x^2-5x+2} = 0$.

Дано показательное уравнение:

$9 \cdot 5^{x^2 - 5x + 2} - 5 \cdot 9^{x^2 - 5x + 2} = 0$

Для его решения перенесем слагаемое с основанием 9 в правую часть уравнения:

$9 \cdot 5^{x^2 - 5x + 2} = 5 \cdot 9^{x^2 - 5x + 2}$

Теперь разделим обе части уравнения на выражение $9^{x^2 - 5x + 2}$. Так как значение показательной функции всегда положительно, это преобразование является равносильным и не приводит к потере корней.

$9 \cdot \frac{5^{x^2 - 5x + 2}}{9^{x^2 - 5x + 2}} = 5$

Воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m$ для левой части уравнения:

$9 \cdot (\frac{5}{9})^{x^2 - 5x + 2} = 5$

Чтобы выделить показательное выражение, разделим обе части уравнения на 9:

$(\frac{5}{9})^{x^2 - 5x + 2} = \frac{5}{9}$

Так как $\frac{5}{9}$ можно представить как $(\frac{5}{9})^1$, уравнение принимает вид:

$(\frac{5}{9})^{x^2 - 5x + 2} = (\frac{5}{9})^1$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны и не равны 1, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 5x + 2 = 1$

Перенесем 1 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 2 - 1 = 0$

$x^2 - 5x + 1 = 0$

По условию задачи требуется найти сумму корней. Нет необходимости вычислять сами корни, достаточно применить теорему Виета. Сначала убедимся, что уравнение имеет действительные корни, вычислив дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1$ и $x_2$ для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ равна $x_1 + x_2 = -p$. В нашем случае $p = -5$.

Либо, для общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$. Здесь $a=1$, $b=-5$, $c=1$.

Сумма корней равна:

$x_1 + x_2 = - \frac{-5}{1} = 5$

Ответ: 5