Номер 2.109, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.109*. Решите уравнение $a^{2x^2} - 2 \cdot a^{x^2+x+6} + a^{2x+12} = 0$, где $a > 0, a \neq 1$.

Данное уравнение можно преобразовать, заметив, что его левая часть является полным квадратом разности.
Исходное уравнение:$a^{2x^2} - 2 \cdot a^{x^2+x+6} + a^{2x+12} = 0$
Используя свойства степеней, перепишем члены уравнения:
$a^{2x^2} = (a^{x^2})^2$
$a^{x^2+x+6} = a^{x^2} \cdot a^{x+6}$
$a^{2x+12} = a^{2(x+6)} = (a^{x+6})^2$
Подставим эти выражения обратно в уравнение:
$(a^{x^2})^2 - 2 \cdot a^{x^2} \cdot a^{x+6} + (a^{x+6})^2 = 0$
Это выражение соответствует формуле квадрата разности $(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$, где $b = a^{x^2}$ и $c = a^{x+6}$.
Свернем левую часть уравнения:
$(a^{x^2} - a^{x+6})^2 = 0$
Квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю:
$a^{x^2} - a^{x+6} = 0$
$a^{x^2} = a^{x+6}$
Поскольку по условию основание степени $a > 0$ и $a \neq 1$, показательная функция является монотонной, следовательно, мы можем приравнять показатели степеней:
$x^2 = x + 6$
Получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Оба найденных значения являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-2; 3$.