Номер 2.101, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.101. Найдите нули функции:

a) $y = 8^{2x} - 6 \cdot 8^x + 8;$

б) $y = 7^{4\sqrt{x}} - 8 \cdot 7^{\sqrt{4x}} + 7.$

а) Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять ее к нулю: $y = 8^{\frac{2}{x}} - 6 \cdot 8^{\frac{1}{x}} + 8 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данной функции определяется знаменателем дроби в показателе степени, поэтому $x \neq 0$.
Заметим, что $8^{\frac{2}{x}} = (8^{\frac{1}{x}})^2$. Это позволяет сделать замену переменной. Пусть $t = 8^{\frac{1}{x}}$. Поскольку показательная функция с основанием больше 1 всегда положительна, то $t > 0$.
После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения:
$t^2 - 6t + 8 = 0$.
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Следовательно, корни уравнения:
$t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Теперь выполним обратную замену для каждого корня.
1) Если $t = 2$, то $8^{\frac{1}{x}} = 2$. Представим 8 как степень двойки: $(2^3)^{\frac{1}{x}} = 2^1$. Отсюда $2^{\frac{3}{x}} = 2^1$. Приравнивая показатели, получаем $\frac{3}{x} = 1$, что дает $x = 3$.
2) Если $t = 4$, то $8^{\frac{1}{x}} = 4$. Представим обе части как степени двойки: $(2^3)^{\frac{1}{x}} = 2^2$. Отсюда $2^{\frac{3}{x}} = 2^2$. Приравнивая показатели, получаем $\frac{3}{x} = 2$, что дает $2x = 3$ и $x = \frac{3}{2} = 1.5$.
Оба найденных значения $x$ входят в ОДЗ. Таким образом, нули функции - это $3$ и $1.5$.
Ответ: $1.5; 3$.

б) Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение $y = 7^{4\sqrt{x}} - 8 \cdot 7^{\sqrt{4x}} + 7 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется требованием неотрицательности подкоренного выражения: $x \ge 0$.
Преобразуем уравнение. Упростим показатель степени во втором члене: $\sqrt{4x} = \sqrt{4}\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$. Также заметим, что первый член можно записать как $7^{4\sqrt{x}} = 7^{2 \cdot (2\sqrt{x})} = (7^{2\sqrt{x}})^2$.
Теперь уравнение выглядит так:
$(7^{2\sqrt{x}})^2 - 8 \cdot 7^{2\sqrt{x}} + 7 = 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 7^{2\sqrt{x}}$. Так как из ОДЗ следует, что $x \ge 0$, то $2\sqrt{x} \ge 0$, и, следовательно, $t = 7^{2\sqrt{x}} \ge 7^0 = 1$.
После замены получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 8t + 7 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Корни уравнения:
$t_1 = 1$ и $t_2 = 7$.
Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 1$. Выполним обратную замену.
1) Если $t = 1$, то $7^{2\sqrt{x}} = 1$. Так как $1 = 7^0$, получаем $7^{2\sqrt{x}} = 7^0$. Приравнивая показатели, имеем $2\sqrt{x} = 0$, откуда $\sqrt{x} = 0$ и $x = 0$.
2) Если $t = 7$, то $7^{2\sqrt{x}} = 7^1$. Приравнивая показатели, имеем $2\sqrt{x} = 1$, откуда $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$. Возводя обе части в квадрат, получаем $x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
Оба найденных значения $x$ входят в ОДЗ. Таким образом, нули функции - это $0$ и $0.25$.
Ответ: $0; 0.25$.