Номер 2.96, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.06. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x$ и $y = 5 \cdot 36^x$.

Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, необходимо приравнять их правые части. Это даст нам уравнение, решив которое относительно $x$, мы найдем искомые абсциссы.

Приравниваем функции:

$3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x = 5 \cdot 36^x$

Заметим, что основания степеней $16$, $81$ и $36$ можно выразить через степени чисел $4$ и $9$:

$16 = 4^2$

$81 = 9^2$

$36 = 4 \cdot 9$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \cdot (4^2)^x + 2 \cdot (9^2)^x = 5 \cdot (4 \cdot 9)^x$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$, преобразуем уравнение:

$3 \cdot 4^{2x} + 2 \cdot 9^{2x} = 5 \cdot 4^x \cdot 9^x$

Полученное уравнение является однородным показательным уравнением. Для его решения разделим обе части на $9^{2x}$. Так как выражение $9^{2x}$ всегда больше нуля при любом действительном $x$, это преобразование является равносильным (не приводит к потере корней или появлению посторонних).

$\frac{3 \cdot 4^{2x}}{9^{2x}} + \frac{2 \cdot 9^{2x}}{9^{2x}} = \frac{5 \cdot 4^x \cdot 9^x}{9^{2x}}$

Упростим каждый член уравнения, используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$:

$3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} + 2 = 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x$

Теперь можно сделать замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x$. Так как показательная функция с положительным основанием всегда принимает положительные значения, то $t > 0$.

С учетом замены, $\left(\frac{4}{9}\right)^{2x} = \left(\left(\frac{4}{9}\right)^x\right)^2 = t^2$. Уравнение принимает вид квадратного:

$3t^2 + 2 = 5t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$3t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Оба найденных значения $t$ положительны, поэтому они удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Для $t_1 = 1$:

$\left(\frac{4}{9}\right)^x = 1$

Любое отличное от нуля число в степени 0 равно 1, поэтому можно записать $1$ как $\left(\frac{4}{9}\right)^0$:

$\left(\frac{4}{9}\right)^x = \left(\frac{4}{9}\right)^0$

Отсюда следует, что $x_1 = 0$.

2. Для $t_2 = \frac{2}{3}$:

$\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3}$

Заметим, что основание степени в левой части можно представить как квадрат правой части: $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$.

$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$2x = 1$

$x_2 = \frac{1}{2}$

Таким образом, графики функций пересекаются в точках с абсциссами $0$ и $\frac{1}{2}$.

Ответ: $0; \frac{1}{2}$.