Номер 2.91, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.91. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

а) $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 = 0;$

б) $36^x - 5 \cdot 6^x - 6 = 0;$

в) $49^x + 6 \cdot 7^x - 7 = 0;$

г) $9^x - 3^x - 2 = 0;$

д) $25^x - 6 \cdot 5^x - 7 = 0;$

е) $4^x - 12 \cdot 2^x + 20 = 0.$

а) $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$

Перепишем уравнение, заметив, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, $2^x > 0$ для любого $x$, следовательно, $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 10t + 16 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Корни уравнения:

$t_1 = 2$

$t_2 = 8$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1. Для $t_1 = 2$:

$2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x_1 = 1$

2. Для $t_2 = 8$:

$2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x_2 = 3$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 1; 3.

б) $36^x - 5 \cdot 6^x - 6 = 0$

Заметим, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$. Перепишем уравнение:

$(6^x)^2 - 5 \cdot 6^x - 6 = 0$

Произведем замену переменной: пусть $t = 6^x$. Так как $6^x > 0$, то $t > 0$.

Уравнение сводится к квадратному:

$t^2 - 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма равна 5. Это числа 6 и -1.

$t_1 = 6$

$t_2 = -1$

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$. Корень $t_1 = 6$ удовлетворяет условию. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($6^x$ не может быть отрицательным), поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для подходящего корня:

$6^x = 6 \implies 6^x = 6^1 \implies x = 1$

Ответ: 1.

в) $49^x + 6 \cdot 7^x - 7 = 0$

Представим $49^x$ как $(7^2)^x = (7^x)^2$:

$(7^x)^2 + 6 \cdot 7^x - 7 = 0$

Введем замену $t = 7^x$. Условие для новой переменной: $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 6t - 7 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -7, а сумма равна -6. Это числа 1 и -7.

$t_1 = 1$

$t_2 = -7$

Проверяем условие $t > 0$. Корень $t_1 = 1$ подходит. Корень $t_2 = -7$ не подходит.

Делаем обратную замену:

$7^x = 1 \implies 7^x = 7^0 \implies x = 0$

Ответ: 0.

г) $9^x - 3^x - 2 = 0$

Так как $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, уравнение можно записать в виде:

$(3^x)^2 - 3^x - 2 = 0$

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Подставляем $t$ в уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1.

$t_1 = 2$

$t_2 = -1$

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $t > 0$. Корень $t_2 = -1$ является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной:

$3^x = 2$

Для нахождения $x$ воспользуемся определением логарифма:

$x = \log_3 2$

Ответ: $\log_3 2$.

д) $25^x - 6 \cdot 5^x - 7 = 0$

Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$. Уравнение принимает вид:

$(5^x)^2 - 6 \cdot 5^x - 7 = 0$

Сделаем замену $t = 5^x$, при этом $t > 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 6t - 7 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно -7, а сумма равна 6. Это числа 7 и -1.

$t_1 = 7$

$t_2 = -1$

Корень $t_1 = 7$ подходит, а корень $t_2 = -1$ не подходит по условию $t > 0$.

Выполняем обратную замену:

$5^x = 7$

По определению логарифма:

$x = \log_5 7$

Ответ: $\log_5 7$.

e) $4^x - 12 \cdot 2^x + 20 = 0$

Представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 12 \cdot 2^x + 20 = 0$

Введем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 12t + 20 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно 20, а сумма равна 12. Это числа 2 и 10.

$t_1 = 2$

$t_2 = 10$

Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполняем обратную замену для каждого корня:

1. Для $t_1 = 2$:

$2^x = 2 \implies x_1 = 1$

2. Для $t_2 = 10$:

$2^x = 10 \implies x_2 = \log_2 10$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 1; $\log_2 10$.