Номер 2.89, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.89. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции:

а) $y = 2^{2x-3} + 2^{2x+2}$ и прямой $y = 132;$

б) $y = 5^{x+3} + 5^{x+2} + 5^{x+1}$ и прямой $y = \frac{31}{25};$

в) $y = 4^{5x+1} + 5 \cdot 4^{5x} - 3 \cdot 4^{5x+2}$ и прямой $y = -624.$

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графика функции и прямой, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $y$ равны.

Получаем уравнение:

$2^{2x-3} + 2^{2x+2} = 132$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем левую часть уравнения:

$2^{2x} \cdot 2^{-3} + 2^{2x} \cdot 2^2 = 132$

$2^{2x} \cdot \frac{1}{8} + 2^{2x} \cdot 4 = 132$

Вынесем общий множитель $2^{2x}$ за скобки:

$2^{2x} \left( \frac{1}{8} + 4 \right) = 132$

Выполним сложение в скобках:

$2^{2x} \left( \frac{1}{8} + \frac{32}{8} \right) = 132$

$2^{2x} \cdot \frac{33}{8} = 132$

Теперь выразим $2^{2x}$:

$2^{2x} = 132 : \frac{33}{8} = 132 \cdot \frac{8}{33}$

Сократим $132$ и $33$ (так как $132 = 4 \cdot 33$):

$2^{2x} = 4 \cdot 8 = 32$

Представим число $32$ в виде степени с основанием $2$ ($32 = 2^5$):

$2^{2x} = 2^5$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x = 5$

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $2.5$.

б) Приравниваем выражения для $y$:

$5^{x+3} + 5^{x+2} + 5^{x+1} = \frac{31}{25}$

Используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, вынесем за скобки общий множитель. В данном случае удобно вынести $5^{x+1}$:

$5^{(x+1)+2} + 5^{(x+1)+1} + 5^{x+1} = \frac{31}{25}$

$5^{x+1} \cdot 5^2 + 5^{x+1} \cdot 5^1 + 5^{x+1} \cdot 1 = \frac{31}{25}$

$5^{x+1} (25 + 5 + 1) = \frac{31}{25}$

$5^{x+1} \cdot 31 = \frac{31}{25}$

Разделим обе части уравнения на $31$:

$5^{x+1} = \frac{1}{25}$

Представим $\frac{1}{25}$ в виде степени с основанием $5$:

$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$

Получаем уравнение:

$5^{x+1} = 5^{-2}$

Приравниваем показатели степеней:

$x+1 = -2$

$x = -2 - 1$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

в) Приравниваем выражения для $y$:

$4^{5x+1} + 5 \cdot 4^{5x} - 3 \cdot 4^{5x+2} = -624$

Вынесем за скобки общий множитель $4^{5x}$:

$4^{5x} \cdot 4^1 + 5 \cdot 4^{5x} - 3 \cdot (4^{5x} \cdot 4^2) = -624$

Выносим $4^{5x}$ за скобки:

$4^{5x} (4 + 5 - 3 \cdot 16) = -624$

Выполним действия в скобках:

$4^{5x} (9 - 48) = -624$

$4^{5x} \cdot (-39) = -624$

Выразим $4^{5x}$:

$4^{5x} = \frac{-624}{-39}$

$4^{5x} = 16$

Представим число $16$ в виде степени с основанием $4$ ($16 = 4^2$):

$4^{5x} = 4^2$

Приравниваем показатели степеней:

$5x = 2$

$x = \frac{2}{5} = 0.4$

Ответ: $0.4$.