Номер 2.90, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.90. Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} 2^{2x-y} = 8, \\ 7^{x-y} = 7; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 3^{3x} \cdot 3^y = 3, \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} (\sqrt{2})^{x+2y} = 4, \\ 3^{-x} \cdot 27^y = 3; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} 3^{x+2y} \cdot 81^y = 81, \\ y^2 - x = -13. \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2^{2x-y} = 8, \\ 7^{x-y} = 7; \end{cases} $$

Преобразуем каждое уравнение системы, приведя правую и левую части к одному основанию.

Первое уравнение: $2^{2x-y} = 8$. Поскольку $8 = 2^3$, получаем $2^{2x-y} = 2^3$.
Отсюда следует, что показатели степеней равны: $2x - y = 3$.

Второе уравнение: $7^{x-y} = 7$. Поскольку $7 = 7^1$, получаем $7^{x-y} = 7^1$.
Отсюда следует, что $x - y = 1$.

Теперь мы имеем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x - y = 3, \\ x - y = 1; \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого: $(2x - y) - (x - y) = 3 - 1$
$2x - y - x + y = 2$
$x = 2$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=2$ во второе уравнение $x - y = 1$: $2 - y = 1$
$y = 2 - 1 = 1$.

Проверим найденное решение $(2; 1)$:
$2^{2(2)-1} = 2^{4-1} = 2^{3} = 8$. Верно.
$7^{2-1} = 7^{1} = 7$. Верно.

Ответ: $(2; 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3^{3x} \cdot 3^y = 3, \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32; \end{cases} $$

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для преобразования уравнений.

Первое уравнение: $3^{3x+y} = 3^1$.
Приравнивая показатели, получаем: $3x + y = 1$.

Второе уравнение: $2^{3x-y} = 32$. Так как $32 = 2^5$, имеем $2^{3x-y} = 2^5$.
Приравнивая показатели, получаем: $3x - y = 5$.

Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 3x + y = 1, \\ 3x - y = 5; \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы: $(3x + y) + (3x - y) = 1 + 5$
$6x = 6$
$x = 1$.

Подставим значение $x = 1$ в первое уравнение $3x + y = 1$: $3(1) + y = 1$
$3 + y = 1$
$y = -2$.

Проверим найденное решение $(1; -2)$:
$3^{3(1)} \cdot 3^{-2} = 3^3 \cdot 3^{-2} = 3^{3-2} = 3^1 = 3$. Верно.
$2^{3(1)} \cdot 2^{-(-2)} = 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$. Верно.

Ответ: $(1; -2)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (\sqrt{2})^{x+2y} = 4, \\ 3^{-x} \cdot 27^y = 3; \end{cases} $$

Преобразуем каждое уравнение, приводя обе части к одному основанию.

Первое уравнение: $(\sqrt{2})^{x+2y} = 4$. Представим $\sqrt{2}$ как $2^{1/2}$ и $4$ как $2^2$.
$(2^{1/2})^{x+2y} = 2^2$
$2^{\frac{1}{2}(x+2y)} = 2^2$
Приравниваем показатели: $\frac{1}{2}(x+2y) = 2$, откуда $x+2y = 4$.

Второе уравнение: $3^{-x} \cdot 27^y = 3$. Представим $27$ как $3^3$.
$3^{-x} \cdot (3^3)^y = 3^1$
$3^{-x} \cdot 3^{3y} = 3^1$
$3^{-x+3y} = 3^1$
Приравниваем показатели: $-x + 3y = 1$.

Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y = 4, \\ -x + 3y = 1; \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы: $(x + 2y) + (-x + 3y) = 4 + 1$
$5y = 5$
$y = 1$.

Подставим значение $y = 1$ в первое уравнение $x + 2y = 4$: $x + 2(1) = 4$
$x + 2 = 4$
$x = 2$.

Проверим найденное решение $(2; 1)$:
$(\sqrt{2})^{2+2(1)} = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^2 = 4$. Верно.
$3^{-2} \cdot 27^1 = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3$. Верно.

Ответ: $(2; 1)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3^{x+2y} \cdot 81^y = 81, \\ y^2 - x = -13. \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, приведя его к одному основанию $3$. $81 = 3^4$.
$3^{x+2y} \cdot (3^4)^y = 3^4$
$3^{x+2y} \cdot 3^{4y} = 3^4$
$3^{x+2y+4y} = 3^4$
$3^{x+6y} = 3^4$
Приравнивая показатели, получаем: $x + 6y = 4$.

Теперь имеем систему из линейного и нелинейного уравнений: $$ \begin{cases} x + 6y = 4, \\ y^2 - x = -13. \end{cases} $$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 4 - 6y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $y^2 - (4 - 6y) = -13$
$y^2 - 4 + 6y = -13$
$y^2 + 6y + 9 = 0$.

Это квадратное уравнение является полным квадратом: $(y+3)^2 = 0$
Отсюда $y+3=0$, то есть $y = -3$.

Найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 4 - 6y$: $x = 4 - 6(-3) = 4 + 18 = 22$.

Проверим найденное решение $(22; -3)$:
$3^{22+2(-3)} \cdot 81^{-3} = 3^{16} \cdot (3^4)^{-3} = 3^{16} \cdot 3^{-12} = 3^{4} = 81$. Верно.
$(-3)^2 - 22 = 9 - 22 = -13$. Верно.

Ответ: $(22; -3)$.