Номер 2.95, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.95. Определите вид уравнения и решите его:

а) $5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x - 6 \cdot 5^{2x} = 0;$

б) $3 \cdot 4^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^x = 0;$

в) $4 \cdot 49^x - 56^x = 3 \cdot 64^x;$

г) $2 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x + 2 \cdot 4^x = 0.$

а) Данное уравнение $5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x - 6 \cdot 5^{2x} = 0$ является однородным показательным уравнением второго порядка.
Преобразуем его, используя свойства степеней: $3^{2x}=(3^x)^2$, $15^x = 3^x \cdot 5^x$, $5^{2x}=(5^x)^2$.
$5 \cdot (3^x)^2 + 7 \cdot 3^x \cdot 5^x - 6 \cdot (5^x)^2 = 0$
Поскольку $5^{2x} > 0$ для любого действительного $x$, разделим обе части уравнения на $5^{2x}$:
$5 \cdot \frac{3^{2x}}{5^{2x}} + 7 \cdot \frac{3^x \cdot 5^x}{5^{2x}} - 6 \cdot \frac{5^{2x}}{5^{2x}} = 0$
$5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{2x} + 7 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x - 6 = 0$
Введем замену переменной: пусть $t = \left(\frac{3}{5}\right)^x$. Учитывая, что показательная функция всегда положительна, имеем ограничение $t > 0$.
Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:
$5t^2 + 7t - 6 = 0$
Найдем корни с помощью дискриминанта:
$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2$
$t_1 = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$
$t_2 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, следовательно, является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_2 = \frac{3}{5}$:
$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{3}{5}$
$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^1$
Отсюда получаем $x=1$.
Ответ: $x=1$.

б) Данное уравнение $3 \cdot 4^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^x = 0$ является однородным показательным уравнением второго порядка.
Представим основания степеней через простые множители: $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$, $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$, $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.
$3 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot (3^x)^2 = 0$
Разделим обе части уравнения на $9^x \neq 0$:
$3 \cdot \frac{4^x}{9^x} - 5 \cdot \frac{6^x}{9^x} + 2 \cdot \frac{9^x}{9^x} = 0$
$3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 2 = 0$
$3 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 2 = 0$
$3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 2 = 0$
Сделаем замену $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, где $t > 0$.
$3t^2 - 5t + 2 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$
$t_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$t_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
Оба корня удовлетворяют условию $t>0$. Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $\left(\frac{2}{3}\right)^x = t_1 = \frac{2}{3} \implies x_1 = 1$.
2) $\left(\frac{2}{3}\right)^x = t_2 = 1 \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^0 \implies x_2 = 0$.
Ответ: $x=0; x=1$.

в) Исходное уравнение: $4 \cdot 49^x - 56^x = 3 \cdot 64^x$.
Перенесем все члены в одну сторону: $4 \cdot 49^x - 56^x - 3 \cdot 64^x = 0$.
Это однородное показательное уравнение второго порядка. Представим основания степеней через простые множители: $49^x = (7^x)^2$, $56^x = 7^x \cdot 8^x$, $64^x = (8^x)^2$.
$4 \cdot (7^x)^2 - 7^x \cdot 8^x - 3 \cdot (8^x)^2 = 0$
Разделим обе части уравнения на $64^x \neq 0$:
$4 \cdot \frac{49^x}{64^x} - \frac{56^x}{64^x} - 3 \cdot \frac{64^x}{64^x} = 0$
$4 \cdot \left(\frac{49}{64}\right)^x - \left(\frac{56}{64}\right)^x - 3 = 0$
$4 \cdot \left(\left(\frac{7}{8}\right)^2\right)^x - \left(\frac{7}{8}\right)^x - 3 = 0$
$4 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{2x} - \left(\frac{7}{8}\right)^x - 3 = 0$
Сделаем замену $t = \left(\frac{7}{8}\right)^x$, где $t > 0$.
$4t^2 - t - 3 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$
$t_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Корень $t_1 = -\frac{3}{4}$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену для $t_2 = 1$:
$\left(\frac{7}{8}\right)^x = 1 \implies \left(\frac{7}{8}\right)^x = \left(\frac{7}{8}\right)^0 \implies x = 0$.
Ответ: $x=0$.

г) Уравнение $2 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x + 2 \cdot 4^x = 0$ является однородным показательным уравнением второго порядка.
Представим основания степеней через простые множители: $25^x = (5^x)^2$, $10^x = 2^x \cdot 5^x$, $4^x = (2^x)^2$.
$2 \cdot (5^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 5^x + 2 \cdot (2^x)^2 = 0$
Разделим обе части уравнения на $4^x \neq 0$:
$2 \cdot \frac{25^x}{4^x} - 5 \cdot \frac{10^x}{4^x} + 2 \cdot \frac{4^x}{4^x} = 0$
$2 \cdot \left(\frac{25}{4}\right)^x - 5 \cdot \left(\frac{10}{4}\right)^x + 2 = 0$
$2 \cdot \left(\left(\frac{5}{2}\right)^2\right)^x - 5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x + 2 = 0$
$2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x + 2 = 0$
Сделаем замену $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$, где $t > 0$.
$2t^2 - 5t + 2 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
Оба корня положительны. Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $\left(\frac{5}{2}\right)^x = t_1 = 2 \implies x_1 = \log_{\frac{5}{2}}(2)$.
2) $\left(\frac{5}{2}\right)^x = t_2 = \frac{1}{2} \implies x_2 = \log_{\frac{5}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) = \log_{\frac{5}{2}}(2^{-1}) = -\log_{\frac{5}{2}}(2)$.
Ответ: $x = \pm\log_{\frac{5}{2}}(2)$.