Номер 2.99, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.99. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

а) $y = 4^{x+3} - 2^{2x+2}$ и $y = 15$;

б) $y = 2^{x+1} + 2^{x+2}$ и $y = 5^{x+1} + 5^{x}$;

В) $y = 4^{x+1} - 3^{x}$ и $y = 3^{x+2} - 4^{x}$.

а)

Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, нужно приравнять выражения для $y$:

$4^{x+3} - 2^{2x+2} = 15$

Приведем все степени к одному основанию $2$, так как $4 = 2^2$.

$(2^2)^{x+3} - 2^{2x+2} = 15$

$2^{2(x+3)} - 2^{2x+2} = 15$

$2^{2x+6} - 2^{2x+2} = 15$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель за скобки:

$2^{2x} \cdot 2^6 - 2^{2x} \cdot 2^2 = 15$

$2^{2x}(2^6 - 2^2) = 15$

Вычислим значения в скобках:

$2^{2x}(64 - 4) = 15$

$2^{2x} \cdot 60 = 15$

Решим уравнение относительно $2^{2x}$:

$2^{2x} = \frac{15}{60}$

$2^{2x} = \frac{1}{4}$

Представим правую часть как степень с основанием 2:

$2^{2x} = 2^{-2}$

Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$2x = -2$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

б)

Приравняем правые части данных функций:

$2^{x+1} + 2^{x+2} = 5^{x+1} + 5^x$

Упростим обе части уравнения, вынеся за скобки общие множители:

В левой части: $2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^2 = 2^x(2 + 4) = 6 \cdot 2^x$

В правой части: $5^x \cdot 5^1 + 5^x = 5^x(5 + 1) = 6 \cdot 5^x$

Получаем уравнение:

$6 \cdot 2^x = 6 \cdot 5^x$

Разделим обе части на 6:

$2^x = 5^x$

Разделим обе части на $5^x$ (это возможно, так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$):

$\frac{2^x}{5^x} = 1$

$(\frac{2}{5})^x = 1$

Так как любое ненулевое число в степени 0 равно 1, то:

$x = 0$

Ответ: $0$.

в)

Приравняем выражения для $y$:

$4^{x+1} - 3^x = 3^{x+2} - 4^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$4^{x+1} + 4^x = 3^{x+2} + 3^x$

Вынесем общие множители за скобки:

$4^x \cdot 4^1 + 4^x = 3^x \cdot 3^2 + 3^x$

$4^x(4 + 1) = 3^x(9 + 1)$

$5 \cdot 4^x = 10 \cdot 3^x$

Разделим обе части на 5:

$4^x = 2 \cdot 3^x$

Разделим обе части на $3^x$ (так как $3^x > 0$):

$\frac{4^x}{3^x} = 2$

$(\frac{4}{3})^x = 2$

Для нахождения $x$ прологарифмируем обе части уравнения. Удобно использовать логарифм по основанию $\frac{4}{3}$:

$x = \log_{\frac{4}{3}}(2)$

Ответ: $\log_{\frac{4}{3}}(2)$.