Номер 2.86, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.86. Найдите корни уравнения, используя преобразования степеней:

а) $5^x \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x = 4;$

б) $\left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot 2^x = \frac{8}{27};$

в) $5^{x+1} \cdot 2^{x+1} = 0,01;$

г) $0,2^{x-3} \cdot 2^{x-3} = \sqrt[3]{0,16};$

д) $(\sqrt{7})^{x+2} : 3^{x+2} = \frac{7}{9};$

е) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^{x-1})^3;$

ж) $\frac{6^{x^2}}{2^{-15}} = \frac{3^{-15}}{6^{12-12x}};$

з) $\frac{100 \cdot 4^{x^2}}{5^{5x}} = \frac{32^x}{25^{x^2}}.$

а) $5^x \cdot (\frac{2}{5})^x = 4$

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся свойством степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$(5 \cdot \frac{2}{5})^x = 4$

Выполним умножение в скобках:

$2^x = 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^x = 2^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 2$

Ответ: 2

б) $(\frac{1}{3})^x \cdot 2^x = \frac{8}{27}$

Применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ к левой части уравнения:

$(\frac{1}{3} \cdot 2)^x = \frac{8}{27}$

$(\frac{2}{3})^x = \frac{8}{27}$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$

Теперь уравнение выглядит так:

$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 3$

Ответ: 3

в) $5^{x+1} \cdot 2^{x+1} = 0,01$

Используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, где $n = x+1$:

$(5 \cdot 2)^{x+1} = 0,01$

$10^{x+1} = 0,01$

Представим десятичную дробь 0,01 в виде степени числа 10:

$0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$

Подставим это в уравнение:

$10^{x+1} = 10^{-2}$

Приравниваем показатели степеней:

$x+1 = -2$

$x = -2 - 1$

$x = -3$

Ответ: -3

г) $0,2^{x-3} \cdot 2^{x-3} = \sqrt[3]{0,16}$

Воспользуемся свойством $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$(0,2 \cdot 2)^{x-3} = \sqrt[3]{0,16}$

$0,4^{x-3} = \sqrt[3]{0,16}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные для удобства: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ и $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$.

$(\frac{2}{5})^{x-3} = \sqrt[3]{\frac{4}{25}}$

Заметим, что $\frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$. Подставим это в правую часть:

$(\frac{2}{5})^{x-3} = \sqrt[3]{(\frac{2}{5})^2}$

Используем свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$(\frac{2}{5})^{x-3} = (\frac{2}{5})^{\frac{2}{3}}$

Приравниваем показатели степеней:

$x-3 = \frac{2}{3}$

$x = 3 + \frac{2}{3} = \frac{9}{3} + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}$

Ответ: $\frac{11}{3}$

д) $(\sqrt{7})^{x+2} : 3^{x+2} = \frac{7}{9}$

Запишем деление в виде дроби и применим свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:

$(\frac{\sqrt{7}}{3})^{x+2} = \frac{7}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{\sqrt{7}}{3}$. Так как $7 = (\sqrt{7})^2$ и $9 = 3^2$, то:

$\frac{7}{9} = \frac{(\sqrt{7})^2}{3^2} = (\frac{\sqrt{7}}{3})^2$

Уравнение принимает вид:

$(\frac{\sqrt{7}}{3})^{x+2} = (\frac{\sqrt{7}}{3})^2$

Приравниваем показатели степеней:

$x+2=2$

$x=0$

Ответ: 0

е) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^{x-1})^3$

Преобразуем левую часть по свойству $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$(2 \cdot 5)^{x^2-3} = 10^{x^2-3}$

Преобразуем правую часть. $0,01 = 10^{-2}$ и по свойству $(a^m)^n = a^{mn}$ имеем $(10^{x-1})^3 = 10^{3(x-1)} = 10^{3x-3}$.

Тогда правая часть равна: $10^{-2} \cdot 10^{3x-3} = 10^{-2+3x-3} = 10^{3x-5}$.

Уравнение принимает вид:

$10^{x^2-3} = 10^{3x-5}$

Приравниваем показатели степеней и решаем полученное квадратное уравнение:

$x^2-3 = 3x-5$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения $x_1=1$ и $x_2=2$.

Ответ: 1; 2

ж) $\frac{6^{x^2}}{2^{-15}} = \frac{3^{-15}}{6^{12-12x}}$

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$6^{x^2} \cdot 6^{12-12x} = 2^{-15} \cdot 3^{-15}$

В левой части применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, в правой — $a^k \cdot b^k = (ab)^k$:

$6^{x^2 + 12 - 12x} = (2 \cdot 3)^{-15}$

$6^{x^2 - 12x + 12} = 6^{-15}$

Приравниваем показатели степеней:

$x^2 - 12x + 12 = -15$

$x^2 - 12x + 27 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение 27. Следовательно, корни уравнения $x_1=3$ и $x_2=9$.

Ответ: 3; 9

з) $\frac{100 \cdot 4^{x^2}}{5^{5x}} = \frac{32^x}{25^{x^2}}$

Воспользуемся свойством пропорции, перемножив крайние и средние члены:

$100 \cdot 4^{x^2} \cdot 25^{x^2} = 32^x \cdot 5^{5x}$

Представим все числовые коэффициенты и основания степеней через простые множители 2 и 5: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$, $4=2^2$, $25=5^2$, $32=2^5$.

$(2^2 \cdot 5^2) \cdot (2^2)^{x^2} \cdot (5^2)^{x^2} = (2^5)^x \cdot 5^{5x}$

$2^2 \cdot 5^2 \cdot 2^{2x^2} \cdot 5^{2x^2} = 2^{5x} \cdot 5^{5x}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{2+2x^2} \cdot 5^{2+2x^2} = 2^{5x} \cdot 5^{5x}$

Теперь применим свойство $a^k \cdot b^k = (ab)^k$ для обеих частей уравнения:

$(2 \cdot 5)^{2x^2+2} = (2 \cdot 5)^{5x}$

$10^{2x^2+2} = 10^{5x}$

Приравниваем показатели степеней:

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Ответ: 0,5; 2