Номер 2.83, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.83. Найдите абсциссу точки пересечения графика функции:

a) $y = 8^{-3} \cdot 4^{x+1}$ и прямой $y = 4$;

б) $y = \sqrt{5} \cdot 5^{3x}$ и прямой $y = \frac{1}{5}$;

в) $y = 3^x : 9^{x+1}$ и прямой $y = 27$.

а) Чтобы найти абсциссу (координату $x$) точки пересечения графиков, необходимо приравнять их уравнения, так как в точке пересечения значения $y$ равны.

$8^{-3} \cdot 4^{x+1} = 4$

Для решения показательного уравнения приведем обе части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 2, так как $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

$(2^3)^{-3} \cdot (2^2)^{x+1} = 2^2$

Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{-9} \cdot 2^{2(x+1)} = 2^2$

$2^{-9} \cdot 2^{2x+2} = 2^2$

Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{-9 + 2x + 2} = 2^2$

$2^{2x - 7} = 2^2$

Теперь, когда основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x - 7 = 2$

$2x = 9$

$x = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$

б) Аналогично пункту а), приравниваем уравнения:

$\sqrt{5} \cdot 5^{3x} = \frac{1}{5}$

Приведем все члены уравнения к основанию 5. Вспомним, что $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ и $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

$5^{1/2} \cdot 5^{3x} = 5^{-1}$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{\frac{1}{2} + 3x} = 5^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{1}{2} + 3x = -1$

$3x = -1 - \frac{1}{2}$

$3x = -\frac{3}{2}$

$x = -\frac{3}{2} \div 3$

$x = -\frac{1}{2} = -0.5$

Ответ: $-0.5$

в) Приравниваем уравнения. Знак ":" в данном контексте означает деление.

$3^x : 9^{x+1} = 27$

$\frac{3^x}{9^{x+1}} = 27$

Приведем все к основанию 3, так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

$\frac{3^x}{(3^2)^{x+1}} = 3^3$

Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{3^x}{3^{2(x+1)}} = 3^3$

$\frac{3^x}{3^{2x+2}} = 3^3$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{x - (2x+2)} = 3^3$

$3^{x - 2x - 2} = 3^3$

$3^{-x - 2} = 3^3$

Приравниваем показатели степеней:

$-x - 2 = 3$

$-x = 5$

$x = -5$

Ответ: $-5$