Номер 2.78, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.78. Найдите нули функции:

$y = \left(\frac{1}{125}\right)^{2x+1} - 25^{4x-3};$

$y = \left(\sqrt{3}\right)^{4x+1} - 27^x;$

$y = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{3x-5} - 2\sqrt{2};$

$y = \sqrt[4]{27^{2-x}} - \frac{9}{5\sqrt{3}};$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $y=0$.

а) $y = \left(\frac{1}{125}\right)^{2x+1} - 25^{4x-3}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\left(\frac{1}{125}\right)^{2x+1} - 25^{4x-3} = 0$

$\left(\frac{1}{125}\right)^{2x+1} = 25^{4x-3}$

Представим обе части уравнения в виде степеней с основанием 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$, следовательно $\frac{1}{125} = 5^{-3}$, и $25 = 5^2$.

$(5^{-3})^{2x+1} = (5^2)^{4x-3}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$5^{-3(2x+1)} = 5^{2(4x-3)}$

$5^{-6x-3} = 5^{8x-6}$

Поскольку основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$-6x-3 = 8x-6$

$-6x-8x = -6+3$

$-14x = -3$

$x = \frac{-3}{-14} = \frac{3}{14}$

Ответ: $x = \frac{3}{14}$.

б) $y = (\sqrt{3})^{4x+1} - 27^x$

Приравниваем функцию к нулю:

$(\sqrt{3})^{4x+1} - 27^x = 0$

$(\sqrt{3})^{4x+1} = 27^x$

Приведем обе части к основанию 3. Мы знаем, что $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ и $27 = 3^3$.

$(3^{\frac{1}{2}})^{4x+1} = (3^3)^x$

Упростим, используя свойство степени:

$3^{\frac{1}{2}(4x+1)} = 3^{3x}$

$3^{2x+\frac{1}{2}} = 3^{3x}$

Приравниваем показатели степеней:

$2x+\frac{1}{2} = 3x$

$\frac{1}{2} = 3x - 2x$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

в) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{3x-5} - 2\sqrt{2}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{3x-5} - 2\sqrt{2} = 0$

$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{3x-5} = 2\sqrt{2}$

Приведем обе части к основанию 2. Мы знаем, что $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, поэтому $\frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$. Также $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.

$(2^{-\frac{1}{2}})^{3x-5} = 2^{\frac{3}{2}}$

Упростим левую часть:

$2^{-\frac{1}{2}(3x-5)} = 2^{\frac{3}{2}}$

$2^{-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Приравниваем показатели степеней:

$-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} = \frac{3}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на 2:

$-3x+5 = 3$

$-3x = 3-5$

$-3x = -2$

$x = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

г) $y = \sqrt[4]{27^{2-x}} - \frac{9}{\sqrt[5]{3}}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\sqrt[4]{27^{2-x}} - \frac{9}{\sqrt[5]{3}} = 0$

$\sqrt[4]{27^{2-x}} = \frac{9}{\sqrt[5]{3}}$

Приведем обе части к основанию 3.

Преобразуем левую часть: $\sqrt[4]{27^{2-x}} = (27^{2-x})^{\frac{1}{4}} = ((3^3)^{2-x})^{\frac{1}{4}} = (3^{6-3x})^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{6-3x}{4}}$.

Преобразуем правую часть: $\frac{9}{\sqrt[5]{3}} = \frac{3^2}{3^{\frac{1}{5}}} = 3^{2-\frac{1}{5}} = 3^{\frac{10}{5}-\frac{1}{5}} = 3^{\frac{9}{5}}$.

Получаем уравнение:

$3^{\frac{6-3x}{4}} = 3^{\frac{9}{5}}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{6-3x}{4} = \frac{9}{5}$

Решим уравнение, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$5(6-3x) = 4 \cdot 9$

$30 - 15x = 36$

$-15x = 36-30$

$-15x = 6$

$x = -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}$

Ответ: $x = -\frac{2}{5}$.