Номер вопрос 2, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Найдите, если возможно, значения $x$, при которых:

a) $3^x = 0;$

б) $3^x = 1;$

в) $3^x = -3;$

г) $3^x = \frac{1}{3}.$

а) $3^x = 0$

Показательная функция $y = a^x$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) всегда принимает только положительные значения. Область значений функции $y=3^x$ — это все числа больше нуля, то есть $(0; +\infty)$. Поскольку $3^x$ не может быть равно нулю ни при каком действительном значении $x$, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б) $3^x = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Представим число 1 в правой части уравнения как степень с основанием 3: $1 = 3^0$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде: $3^x = 3^0$. Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

в) $3^x = -3$

Как было указано в пункте а), значение показательной функции $y = 3^x$ всегда положительно для любого действительного $x$. Следовательно, оно не может быть равно отрицательному числу -3. Уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: решений нет.

г) $3^x = \frac{1}{3}$

Чтобы решить это уравнение, представим правую часть в виде степени с основанием 3. Используем свойство отрицательного показателя степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $\frac{1}{3} = \frac{1}{3^1} = 3^{-1}$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $3^x = 3^{-1}$. Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны: $x = -1$.

Ответ: $x = -1$.