Номер 2.70, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.70. Решите уравнение $\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{2x+6} = x+3.$

Для решения уравнения $\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{2x+6} = x+3$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Также, правая часть уравнения ($x+3$) должна быть неотрицательной, так как она равна произведению квадратных корней, результат которого не может быть отрицательным числом.

Составим систему неравенств для нахождения ОДЗ:$\begin{cases}x - 1 \ge 0 \\2x + 6 \ge 0 \\x + 3 \ge 0\end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$
$2x + 6 \ge 0 \implies 2x \ge -6 \implies x \ge -3$
$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$

Пересечением этих условий является $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

Теперь решим само уравнение. Поскольку на ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Сначала объединим корни в левой части, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ для $a \ge 0, b \ge 0$:

$\sqrt{(x-1)(2x+6)} = x+3$

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{(x-1)(2x+6)})^2 = (x+3)^2$

$(x-1)(2x+6) = (x+3)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2x^2 + 6x - 2x - 6 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2$

$2x^2 + 4x - 6 = x^2 + 6x + 9$

Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - x^2 + 4x - 6x - 6 - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$):

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 1$, значит, он является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 \ge 1$, значит, это посторонний корень.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 5