Номер 2.67, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.67. Решите однородное уравнение

$\sin^2 x + 14\sin x \cos x = 15\cos^2 x.$

Данное уравнение $\sin^2 x + 14\sin x \cos x = 15\cos^2 x$ является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Для решения перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 x + 14\sin x \cos x - 15\cos^2 x = 0$

Чтобы свести уравнение к алгебраическому, разделим обе его части на $\cos^2 x$. Это действие возможно, если $\cos x \neq 0$. Проверим этот случай. Если $\cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\sin^2 x = 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$1 + 14\sin x \cdot 0 - 15 \cdot 0 = 0$

$1 = 0$

Получено неверное равенство, следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $\cos^2 x$ без потери корней.

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{14\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{15\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем уравнение:

$\tan^2 x + 14\tan x - 15 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену переменной, пусть $t = \tan x$:

$t^2 + 14t - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 16}{2} = -15$

$t_2 = \frac{-14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 16}{2} = 1$

Теперь выполним обратную замену для найденных значений $t$:

1. $\tan x = 1$

$x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\tan x = -15$

$x = \arctan(-15) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединив решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(-15) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.