Номер 2.64, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.64. Найдите значение выражения

$3\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) - 6\operatorname{arcctg}\left(-\sqrt{3}\right) - 4,5\pi.$

Чтобы найти значение выражения, сначала вычислим значения аркфункций для заданных аргументов.

1. Вычисление $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$

Арктангенс является нечетной функцией, поэтому для него справедливо свойство: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.
Применим это свойство: $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.

По определению, $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$, так как $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

2. Вычисление $\text{arcctg}(-\sqrt{3})$

Для арккотангенса отрицательного аргумента используется формула: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.
Применим эту формулу: $\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3})$.

По определению, $\text{arcctg}(\sqrt{3})$ — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$, так как $\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

Таким образом, $\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

3. Вычисление итогового выражения

Подставим найденные значения в исходное выражение: $3\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - 6\text{arcctg}(-\sqrt{3}) - 4,5\pi = 3 \cdot (-\frac{\pi}{6}) - 6 \cdot (\frac{5\pi}{6}) - 4,5\pi$.

Теперь выполним вычисления: $3 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$
$6 \cdot (\frac{5\pi}{6}) = 5\pi$

Выражение принимает вид: $-\frac{\pi}{2} - 5\pi - 4,5\pi$

Представим $4,5\pi$ в виде дроби $\frac{9}{2}\pi$ и выполним вычитание: $-\frac{\pi}{2} - 5\pi - \frac{9\pi}{2} = (-\frac{\pi}{2} - \frac{9\pi}{2}) - 5\pi = -\frac{10\pi}{2} - 5\pi = -5\pi - 5\pi = -10\pi$.

Ответ: $-10\pi$.