Номер 2.60, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.60. Воспользуйтесь свойствами степени с действительным показателем и найдите значение выражения:

а) $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\\sqrt{3}}\right)^{\\sqrt{3}};

б) $2^{\\sqrt{5}} \\cdot 2^{-\\sqrt{5}};

в) $\left(4^{2+\\sqrt{3}}\right)^{2-\\sqrt{3}};

г) $3^{2-\\sqrt{2}} : 3^{5-\\sqrt{2}}$.

а) Чтобы найти значение выражения $((\frac{1}{2})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$, воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$. В данном случае основание $a = \frac{1}{2}$, а показатели $m = \sqrt{3}$ и $n = \sqrt{3}$.

Применяя это свойство, получаем:$((\frac{1}{2})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} = (\frac{1}{2})^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = (\frac{1}{2})^{(\sqrt{3})^2} = (\frac{1}{2})^3$.

Теперь вычислим полученное значение: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) Чтобы найти значение выражения $2^{\sqrt{5}} \cdot 2^{-\sqrt{5}}$, применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Здесь $a=2$, $m=\sqrt{5}$, $n=-\sqrt{5}$.

Выполним сложение показателей: $2^{\sqrt{5}} \cdot 2^{-\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{5} + (-\sqrt{5})} = 2^{\sqrt{5} - \sqrt{5}} = 2^0$.

По определению степени с нулевым показателем, любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Таким образом, $2^0 = 1$.

Ответ: $1$.

в) Чтобы найти значение выражения $(4^{2+\sqrt{3}})^{2-\sqrt{3}}$, снова используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$. Здесь $a=4$, $m=2+\sqrt{3}$, $n=2-\sqrt{3}$.

$(4^{2+\sqrt{3}})^{2-\sqrt{3}} = 4^{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$.

Для вычисления произведения в показателе степени воспользуемся формулой разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Значит, исходное выражение равно $4^1$, что равно 4.

Ответ: $4$.

г) Чтобы найти значение выражения $3^{2-\sqrt{2}} : 3^{5-\sqrt{2}}$, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Здесь $a=3$, $m=2-\sqrt{2}$, $n=5-\sqrt{2}$.

$3^{2-\sqrt{2}} : 3^{5-\sqrt{2}} = 3^{(2-\sqrt{2}) - (5-\sqrt{2})}$.

Упростим показатель степени, раскрыв скобки: $(2-\sqrt{2}) - (5-\sqrt{2}) = 2 - \sqrt{2} - 5 + \sqrt{2} = -3$.

Таким образом, выражение равно $3^{-3}$.

По определению степени с отрицательным целым показателем $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, получаем: $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.