Номер 2.54, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.54*. Схематически изобразите график функции $y = 3^{x+|x|}$.

Для того чтобы схематически изобразить график функции $y = 3^{x+|x|}$, необходимо раскрыть модуль в показателе степени. Для этого рассмотрим два случая в зависимости от знака переменной $x$.

1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставив это в исходное уравнение, получим:

$y = 3^{x+x} = 3^{2x}$

Данную функцию можно представить в виде $y = (3^2)^x = 9^x$. Это показательная функция с основанием $9$, которая возрастает на всей области определения. Ее график проходит через точку $(0, 1)$, так как $9^0=1$. Таким образом, для всех неотрицательных $x$ график нашей функции совпадает с графиком функции $y=9^x$.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставив это в исходное уравнение, получим:

$y = 3^{x+(-x)} = 3^0 = 1$

Таким образом, для всех отрицательных значений $x$ функция постоянна и равна 1. Графиком на этом промежутке является горизонтальный луч $y=1$, идущий из минус бесконечности до точки на оси OY.

Объединив оба случая, мы можем представить исходную функцию как кусочно-заданную:

$y = \begin{cases} 9^x, & \text{если } x \ge 0 \\ 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Схематическое построение графика:

• В левой полуплоскости (при $x < 0$) график представляет собой горизонтальный луч $y=1$, который приближается к оси OY.
• В точке $(0, 1)$ происходит "стыковка" двух частей графика, так как предел функции слева при $x \to 0$ равен $1$, и значение функции в точке $x=0$ также равно $9^0 = 1$.
• В правой полуплоскости (при $x \ge 0$) график совпадает с графиком показательной функции $y=9^x$, который начинается в точке $(0, 1)$ и быстро возрастает. Например, при $x=1$ значение $y=9$.

Ответ: График функции $y = 3^{x+|x|}$ состоит из двух частей: горизонтального луча $y=1$ при $x < 0$ и части графика показательной функции $y=9^x$ при $x \ge 0$. Обе части соединяются в точке $(0, 1)$.