Номер 2.52, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.52*. Постройте график функции:

а) $y = 2^{|x|}$;

б) $y = |2^{x} - 8|$.

а) $y = 2^{|x|}$

Для построения графика функции $y = 2^{|x|}$ необходимо раскрыть модуль в показателе степени. Определение модуля числа $|x|$ гласит:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} 2^x, & \text{если } x \ge 0 \\ 2^{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это означает, что для построения искомого графика нужно:

1. Построить график показательной функции $y = 2^x$ для всех $x \ge 0$. Эта часть графика находится в правой полуплоскости (включая ось $Oy$), проходит через точку $(0, 1)$ и возрастает при увеличении $x$. Контрольные точки: $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 8)$.
2. Построить график показательной функции $y = 2^{-x}$ или, что то же самое, $y = (\frac{1}{2})^x$ для всех $x < 0$. Эта часть графика находится в левой полуплоскости, является убывающей и также стремится к точке $(0, 1)$ при $x \to 0^-$. Контрольные точки: $(-1, 2)$, $(-2, 4)$, $(-3, 8)$.

Альтернативный способ построения основан на свойстве чётности. Функция $y = 2^{|x|}$ является чётной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = 2^x$.
2. Оставляем ту часть графика, которая соответствует $x \ge 0$ (справа от оси $Oy$ и на ней).
3. Стираем часть графика для $x < 0$.
4. Отражаем оставшуюся часть графика симметрично относительно оси $Oy$.

В результате получается график, состоящий из двух ветвей, симметричных относительно оси $Oy$, с общей точкой $(0, 1)$, которая является точкой минимума функции.

Ответ: График функции $y = 2^{|x|}$ состоит из двух частей: графика $y = 2^x$ для $x \ge 0$ и графика $y = 2^{-x}$ для $x < 0$. График симметричен относительно оси $Oy$ и имеет минимум в точке $(0, 1)$.

б) $y = |2^x - 8|$

Построение графика функции $y = |2^x - 8|$ удобно выполнить в несколько шагов, используя преобразования графиков.

1. Построение графика вспомогательной функции $y_1 = 2^x - 8$.
   Этот график получается из графика стандартной показательной функции $y = 2^x$ путем сдвига на 8 единиц вниз по оси $Oy$.
   • График $y = 2^x$ проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$.
   • После сдвига вниз на 8 единиц, график $y_1 = 2^x - 8$ будет проходить через точку $(0, 1-8) = (0, -7)$.
   • Горизонтальная асимптота также сдвинется вниз и станет $y = -8$.
   • Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$): $y_1 = 0 \implies 2^x - 8 = 0 \implies 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$. Точка пересечения — $(3, 0)$.
2. Применение операции взятия модуля: $y = |y_1| = |2^x - 8|$.
   По определению модуля, $|a|$ равен $a$, если $a \ge 0$, и $-a$, если $a < 0$. Это означает, что:
   • Часть графика $y_1 = 2^x - 8$, которая находится выше или на оси $Ox$, остается без изменений. Это соответствует участку, где $2^x - 8 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
   • Часть графика $y_1 = 2^x - 8$, которая находится ниже оси $Ox$, должна быть симметрично отражена относительно оси $Ox$. Это соответствует участку, где $2^x - 8 < 0$, то есть $x < 3$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y=2^x$.
2. Сдвигаем его на 8 единиц вниз, чтобы получить график функции $y=2^x-8$.
3. Часть графика $y=2^x-8$, которая лежит ниже оси $Ox$ (то есть при $x<3$), отражаем симметрично вверх относительно оси $Ox$.

Итоговый график $y = |2^x - 8|$ имеет следующие ключевые особенности:

• Пересечение с осью $Ox$ в точке $(3, 0)$.
• Пересечение с осью $Oy$ в точке $(0, |2^0-8|) = (0, |-7|) = (0, 7)$.
• При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.
• При $x \to -\infty$, $2^x \to 0$, поэтому $y \to |0-8| = 8$. Таким образом, прямая $y=8$ является горизонтальной асимптотой для левой ветви графика.

Ответ: График функции $y = |2^x - 8|$ получается построением графика $y = 2^x - 8$ и последующим симметричным отражением его отрицательной части (при $x < 3$) относительно оси $Ox$. График пересекает оси в точках $(3, 0)$ и $(0, 7)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=8$ при $x \to -\infty$.