Номер 2.50, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.50. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = 3^x$ на отрезке $[-2; 1];$

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x}$ на отрезке $[-3; 2].$

а) Функция $y = 3^x$ является показательной. Так как ее основание $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом отрезке $[-2; 1]$ достаточно вычислить ее значения на концах этого отрезка. Наименьшее значение будет достигаться в левой точке отрезка, а наибольшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение функции при $x = -2$:

$y_{наим} = y(-2) = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Наибольшее значение функции при $x = 1$:

$y_{наиб} = y(1) = 3^1 = 3$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 1]$ равно $\frac{1}{9}$, а наибольшее значение равно $3$.

б) Сначала преобразуем данную функцию $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x}$, используя свойства степеней:

$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} = (2^{-1})^{-x} = 2^{(-1) \cdot (-x)} = 2^x$.

Мы получили показательную функцию $y = 2^x$. Так как ее основание $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, на отрезке $[-3; 2]$ наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение функции при $x = -3$:

$y_{наим} = y(-3) = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Наибольшее значение функции при $x = 2$:

$y_{наиб} = y(2) = 2^2 = 4$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-3; 2]$ равно $\frac{1}{8}$, а наибольшее значение равно $4$.