Номер 2.47, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.47. Постройте график функции $y = 2^{x-3} - 4$ и опишите ее свойства.

Построение графика

График функции $y = 2^{x-3} - 4$ можно получить из графика базовой показательной функции $y = 2^x$ путем последовательных геометрических преобразований.

1. Сначала строим график функции $y = 2^x$. Это стандартная экспоненциальная кривая, проходящая через точки $(-1, 0.5)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$.
2. Затем сдвигаем этот график на 3 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить график функции $y = 2^{x-3}$. Точки смещаются в $(2, 0.5)$, $(3, 1)$, $(4, 2)$.
3. Наконец, сдвигаем полученный график на 4 единицы вниз вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = 2^{x-3} - 4$. Точки смещаются в $(2, -3.5)$, $(3, -3)$, $(4, -2)$.

Для более точного построения найдем ключевые характеристики графика.

Асимптота:
График функции $y = 2^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. При сдвиге графика на 4 единицы вниз асимптота также смещается и для функции $y = 2^{x-3} - 4$ становится прямой $y=-4$.

Точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = 2^{0-3} - 4 = 2^{-3} - 4 = \frac{1}{8} - 4 = -3\frac{7}{8} = -3.875$. Точка пересечения $(0, -3.875)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = 2^{x-3} - 4 \Rightarrow 2^{x-3} = 4 \Rightarrow 2^{x-3} = 2^2 \Rightarrow x-3=2 \Rightarrow x=5$. Точка пересечения $(5, 0)$.

Таблица некоторых значений функции:

График представляет собой возрастающую кривую, которая проходит через вычисленные точки и асимптотически приближается к прямой $y=-4$ при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = 2^{x-3} - 4$ — это экспоненциальная кривая, полученная сдвигом графика $y = 2^x$ на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз. График пересекает ось Ox в точке $(5, 0)$, ось Oy в точке $(0, -3.875)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=-4$.

Свойства функции

На основе уравнения $y = 2^{x-3} - 4$ и ее графика можно перечислить следующие свойства:

1. Область определения: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Поскольку $2^{x-3} > 0$ для любого $x$, то $y = 2^{x-3} - 4 > -4$. Таким образом, $E(y) = (-4; +\infty)$.
3. Четность и нечетность: Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как область определения симметрична относительно нуля, но $y(-x) = 2^{-x-3} - 4$ не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.
4. Нули функции: $y=0$ при $x=5$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • Функция положительна ($y>0$) при $x \in (5; +\infty)$.
   • Функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-\infty; 5)$.
6. Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как основание показательной функции $a=2 > 1$.
7. Экстремумы: Локальные максимумы и минимумы отсутствуют.
8. Асимптоты: Прямая $y=-4$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to -\infty$.

Ответ: Свойства функции $y=2^{x-3}-4$:
1) Область определения: $D(y)=(-\infty; +\infty)$.
2) Область значений: $E(y)=(-4; +\infty)$.
3) Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
4) Нуль функции: $x=5$.
5) $y>0$ при $x \in (5; +\infty)$, $y<0$ при $x \in (-\infty; 5)$.
6) Строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.
7) Экстремумов нет.
8) Горизонтальная асимптота: $y=-4$.