Номер 2.40, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.40. Определите, возрастающей или убывающей является показательная функция:

а) $y = \left(\frac{2}{7}\right)^x$;

б) $y = 5^x$;

в) $y = 3,2^x$;

г) $y = 0,07^x$;

д) $y = (\sqrt{5})^x$;

е) $y = (3 - \sqrt{2})^x$.

Характер монотонности показательной функции вида $y = a^x$ (то есть, является ли она возрастающей или убывающей) полностью определяется ее основанием $a$. Функция является возрастающей на всей области определения, если ее основание больше единицы ($a > 1$). Функция является убывающей на всей области определения, если ее основание положительно, но меньше единицы ($0 < a < 1$). Проанализируем каждую из заданных функций, используя это правило.

а) В функции $y = (\frac{2}{7})^x$ основание $a = \frac{2}{7}$. Так как числитель дроби меньше знаменателя ($2 < 7$), то значение дроби меньше 1. При этом оно положительно. Следовательно, основание удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. Таким образом, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

б) В функции $y = 5^x$ основание $a = 5$. Поскольку $5 > 1$, основание больше единицы. Следовательно, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

в) В функции $y = 3,2^x$ основание $a = 3,2$. Поскольку $3,2 > 1$, основание больше единицы. Следовательно, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

г) В функции $y = 0,07^x$ основание $a = 0,07$. Это значение удовлетворяет неравенству $0 < 0,07 < 1$. Следовательно, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

д) В функции $y = (\sqrt{5})^x$ основание $a = \sqrt{5}$. Чтобы сравнить это значение с единицей, можно сравнить их квадраты. $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $1^2 = 1$. Так как $5 > 1$, то и $\sqrt{5} > 1$. Поскольку основание больше единицы, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

е) В функции $y = (3 - \sqrt{2})^x$ основание $a = 3 - \sqrt{2}$. Чтобы определить характер монотонности, нужно сравнить основание с единицей. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, поэтому $1 < \sqrt{2} < 2$. Оценим значение выражения $3 - \sqrt{2}$: если от 3 отнять число, которое больше 1, но меньше 2, результат будет больше 1. Точнее, $3-2 < 3-\sqrt{2} < 3-1$, что дает $1 < 3-\sqrt{2} < 2$. Так как основание $a = 3 - \sqrt{2} > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.