Номер 2.34, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.34. Известно, что $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Сравните значения выражений:

a) $g(4)$ и $7g(0)$;

б) $g(-1) + g(-2)$ и $g(\log_3 2)$.

Дана функция $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Чтобы сравнить значения выражений, найдем значение каждого из них.

1. Вычислим $g(4)$. Для этого подставим $x=4$ в формулу функции:

$g(4) = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$

2. Вычислим $7g(0)$. Сначала найдем $g(0)$, подставив $x=0$:

$g(0) = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1).

Теперь умножим результат на 7:

$7g(0) = 7 \cdot 1 = 7$.

3. Сравним полученные значения $\frac{1}{81}$ и 7.

Так как $\frac{1}{81}$ — это положительная дробь, меньшая единицы, а 7 — целое число, большее единицы, то очевидно, что:

$\frac{1}{81} < 7$

Следовательно, $g(4) < 7g(0)$.

Ответ: $g(4) < 7g(0)$.

Чтобы сравнить значения выражений, найдем значение каждого из них.

1. Вычислим сумму $g(-1) + g(-2)$.

Найдем $g(-1)$: $g(-1) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3^1 = 3$.

Найдем $g(-2)$: $g(-2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$.

Сложим полученные значения: $g(-1) + g(-2) = 3 + 9 = 12$.

2. Вычислим $g(\log_3 2)$. Для этого подставим $x = \log_3 2$ в формулу функции.

$g(\log_3 2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 2}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и то, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 2} = (3^{-1})^{\log_3 2} = 3^{-1 \cdot \log_3 2} = 3^{-\log_3 2}$

Далее используем свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:

$3^{-\log_3 2} = 3^{\log_3 2^{-1}} = 3^{\log_3 \frac{1}{2}}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$3^{\log_3 \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

3. Сравним полученные значения 12 и $\frac{1}{2}$.

Очевидно, что $12 > \frac{1}{2}$.

Следовательно, $g(-1) + g(-2) > g(\log_3 2)$.

Ответ: $g(-1) + g(-2) > g(\log_3 2)$.